洛伦兹变换
洛伦兹变换
在时间的变换与钟慢效应一节中，我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x_2 = \frac{x_1 - vt_1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&t_2 = \frac{t_1 - vx_1/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
当然，由于没有哪个惯性系更特殊，考虑到 $K_1$ 相对 $K_2$ 的速度是 $-v$，我们有：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x_1 = \frac{x_2 + vt_2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&t_1 = \frac{t_2 + vx_2/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
当然了，这一逆变换也是可以手动从eq. 1 中解出来的．
Example 1 垂直方向上的洛伦兹变换
依然考虑火车模型．现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子，从铁轨系看来两根杆子高度相同．请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同．（提示：竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么？利用同时性的相对性说明一下．你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”．）
ex. 1 的结果说明，尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上．这就是说，垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化．这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&y'= y\\
&z' = z\\
&t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right.
\qquad
\left\{\begin{aligned}
&x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&y = y'\\
&z = z'\\
&t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯，避免读者造成混淆．在上式中，$x_1=x$，$t_1=t$，$x_2=x'$，$t_2=t'$．
矩阵表示
洛伦兹变换也可以用矩阵表示为：
\begin{equation}
L=
\left[\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\
-\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{matrix}\right]
\end{equation}
将 $L$ 称为洛伦兹矩阵或洛伦兹变换矩阵．
如果一个事件在 $K_1$ 和 $K_2$ 中的坐标分别是 $\left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)$ 和 $\left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right)$，那么有
\begin{equation}
\left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right)
=
L
\left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)
\end{equation}