刚体的绕轴转动
若刚体绕固定轴转动，那么刚体的位置只需一个变量即可完全确定（一个自由度），我们令该变量为转角 $\theta$．$\theta$ 关于时间 $t$ 的导数就是刚体绕轴旋转的角速度 $\omega$．我们还可以定义角速度 $\omega$ 关于时间的导数（即 $\theta$ 关于时间的二阶导数）为角加速度（angular acceleration），记为 $\alpha$．
我们可以把刚体的绕轴转动类比质点的直线运动，把 $\theta$，$\omega$ 和 $\alpha$ 分别类比为直线运动中的位置 $x$，速度 $v$ 和 加速度 $a$，因为后三个变量之间的数学关系是完全相同的．于是我们可以立即得到匀变速转动（即 $\alpha$ 为常数）的一些公式，如
\begin{gather}
\theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2\\
\omega_1^2 - \omega_0^2 = 2\alpha \theta
\end{gather}
在以上三个标量的基础上，我们可以定义它们的矢量形式 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $，令它们的方向为转轴的方向，用右手定则 来判断．
要判断刚体上任意一点的速度，使用eq. 5 即可（见fig. 1 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
Fig. 1：刚体绕轴旋转时任意一点的线速度
角动量与转动惯量
设刚体绕固定轴转动，令轴的方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $．假设轴光滑，则轴对刚体可施加 $x, y$ 两个方向的力矩，却不能施加 $z$ 方向的力矩．所以根据角动量定理（eq. 1 ），角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的 $z$ 分量 $L_z$ 守恒．我们下面来推导 $L_z$ 与角速度 $\omega$ 的关系．矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的关系见惯性张量．
对于刚体上的单个质点，$L_z = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $．首先把质点的位矢在水平方向和竖直方向分解，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _z + \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$．由于 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 一直沿水平方向，根据叉乘的几何定义，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _z \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 也是沿水平方向，只有 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 沿 $z$ 方向．另外，在圆周运动中，半径始终与速度垂直，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$ 始终与 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 垂直．得出结论
\begin{equation}
L_z = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rvert = m r_ \bot v = mr_ \bot ^2\omega
\end{equation}
若把刚体分成无数小块，每小块的质量分别为 $m_i$，离轴的距离 $r_{\bot i} = \sqrt{x_i^2 + y_i^2} $，则刚体的角动量 $z$ 分量为
\begin{equation}
L_z = \omega \sum_i m_i r_{ \bot i}^2
\end{equation}
用积分写成
\begin{equation}
L_z = \omega \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} = \omega \int r_ \bot ^2\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V}
\end{equation}
定义刚体绕固定轴旋转的转动惯量（moment of inertia）为
\begin{equation}
I = \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} = \omega \int r_ \bot ^2\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V}
\end{equation}
（注意角动量的大小不仅取决于刚体的质量分布，还取决于转轴的位置和方向）则刚体沿轴方向的角动量分量为
\begin{equation}
L_z = I \omega
\end{equation}
现在来看 “角动量定理” 的eq. 1 ，注意等号两边是矢量，所以各个分量必须相等，我们有
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{L_z}}{\mathrm{d}{t}} = \tau_z
\end{equation}
将
eq. 8 代入
eq. 9 ，并利用角加速度的定义得
\begin{equation}
I\alpha = \tau_z
\end{equation}
这就是刚体绕轴转动的动力学方程，其形式可类比质点做直线运动时的牛顿第二定律
．
Example 1 物理摆
如fig. 2 ，已知质量为 $M$ 的薄片绕某点的转动惯量为 $I$，转轴到刚体质心的长度为 $r_c$，转轴和质心的连线与竖直方向夹角为 $\theta$，求刚体的运动方程．
Fig. 2：物理摆
首先我们把刚体看做质点系，以转轴为原点计算刚体的合力矩为（由于这是一个平面问题，力矩必然垂直于该平面）
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times (m_i \boldsymbol{\mathbf{g}} )
= \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}}
= M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} \\
&= Mg r_c \sin\theta
\end{aligned} \end{equation}
这就说明，刚体所受力矩相当于质量为 $M$，长度为 $r_c$ 的单摆所受的力矩．代入
eq. 10 得刚体摆的运动方程为
\begin{equation}
I\ddot \theta = Mg r_c \sin\theta
\end{equation}
可以验证当刚体的质量全部集中在质心时（$I = Mr_c^2$）我们就得到了单摆的运动方程
eq. 4 ．
Exercise 1 陀螺进动的角速度
在 “角动量定理” 的ex. 1 中，如果除 $r_0, m, g$ 外，还知道陀螺的转动惯量为 $I$ 和陀螺的角速度 $\omega$，试证明陀螺进动的角速度为
\begin{equation}
\Omega = \frac{mgr_0}{I\omega}
\end{equation}
注意进动角速度与陀螺倾角 $\theta$ 无关．
垂直轴的角动量
以上的讨论中，我们有意避免讨论垂直轴方向的角动量分量 $L_x, L_y$．一般情况下，我们不能保证他们是守恒的．在一些特殊情况下，例如刚体的形状和质量分布关于转轴呈轴对称，那么容易证明刚体（关于任意固定点）的总角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 只可能延转轴方向，即 $L_x = L_y = 0$ 守恒．
在一些不对称的情况下，例如一个倾斜的细杆绕转轴旋转，转轴就需要对细杆施加一个不停旋转的力矩，细杆也会对轴施加一个反力矩，这类似于作用力和反作用力，详见 “刚体定轴转动 2 ”．
