刚体的静力平衡

　　¹在惯性系中，如果刚体所受的所有合外力与合外力矩都为零，则我们说它处于静力平衡（static equilibrium）．其中合外力（矩）是指所有施加在刚体上的力（矩）的矢量和．通常来说，静力平衡意味着刚体保持静止不动，但严格来说刚体质心可以做匀速运动，刚体也可以绕质心做匀速转动．在非惯性系中，若加入惯性力的修正，该结论仍然成立．

　　 注意当合外力为零时，合外力矩与参考点（参考系）的选取无关（eq. 9 ）．

证明

　　 把刚体看做由许多质点组成，合外力为零时刚体动量守恒，而动量等于 “质心的动量” $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M_c \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$，所以质心做匀速运动或不动．

　　 刚体合外力矩为零时，质点系角动量守恒，而角动量等于质心的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$ 加上质心系中的角动量（eq. 8 ）．当质心匀速直线运动或不动时 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c$ 不变，所以质心系中刚体的角动量也不变，所以刚体绕质心做匀速转动或不转动．

Example 2　

　　 如fig. 1 ，一个质量为 $m$ 的线轴被斜挂在墙上，线轴与墙面的摩擦系数为 $\mu$，线轴的大圆半径为 $R$，小圆半径为 $r$，求当 $\alpha$ 满足什么条件时，线轴才能不滑落．

Fig. 1：线轴的平衡

　　 我们先来看线轴受哪几个力：重力 $mg$，绳的拉力 $T$，墙的支持力 $N$ 和摩擦力 $f$．由摩擦系数的定义和刚体平衡条件可得

\begin{equation} \begin{cases} f \leqslant \mu N & \text{（摩擦系数）}\\ N - T\sin\alpha = 0 & \text{（水平方向受力平衡）}\\ T\cos\alpha + f - mg = 0 & \text{（竖直方向受力平衡）}\\ Tr - fR = 0 & \text{（力矩平衡）} \end{cases} \end{equation}

其中最后一条力矩平衡是以圆心为原点计算力矩，虽然原则上我们可以取任意点计算力矩，但取在圆心计算最为简单．除了 $\alpha$ 我们有三个未知数 $T, f, N$，用以上三条等式恰好可以把这三个未知数消去，可得关于 $\alpha$ 的不等式

\begin{equation} \sin\alpha \geqslant \frac{r}{\mu R} \end{equation}

　　 一个有趣的地方在于，不等式中没有出现质量 $m$．事实上，我们不使用那条含有 $mg$ 的等式也可以顺利得到答案．

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面和 [11]．