解三棱锥顶角
Prerequisite 高中立体几何
Fig. 1：（左图）已知 $\theta_1$，$\theta_2$ 和 $\phi$ 求 $\alpha$；（右图）已知 $\theta$ 和 $\phi$ 求 $\gamma$
我们考虑如fig. 1 中三棱锥顶点 $O$ 处的 3 条棱和 3 个面之间的角度关系．这里涉及了三种角：两条棱之间的夹角（线线角）$\theta$，棱和面的夹角（线面角）$\gamma$，以及面和面的夹角（面面角）$\phi$．对给定的顶点，每种角都有各有 9 个，共 9 个．我们先不讨论底面 $ABC$ 的位置如何，如果顶点的三条棱的方向都确定，我们就说顶点的形状确定．
显然，我们无需知道所有 9 个角的大小才能确定顶点的形状．这里给出一个类似于三角形余弦定理的公式，将线线角和面面角联系起来．线线角可以类比余弦定理中的边长，面面角类比余弦定理中的夹角．
\begin{equation}
\cos\alpha = \cos\theta_1 \cos\theta_2 + \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\phi
\end{equation}
一个关于线面角的常用公式是
\begin{equation}
\sin\gamma = \sin\phi\sin\theta_1
\end{equation}
证明
我们可以用球坐标系来证明eq. 1 ．令极坐标 $(\theta_1, \phi_1)$ 和 $(\theta_2, \phi_2)$ 代表的两个单位矢量的坐标分别为
\begin{equation}
(\sin\theta_1\cos\phi_1, \sin\theta_1\sin\phi_1, \cos\theta_1)
\qquad
(\sin\theta_2\cos\phi_2, \sin\theta_2\sin\phi_2, \cos\theta_2)
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\alpha = \cos\theta_1 \cos\theta_2 + \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\left(\phi_2 - \phi_1\right)
\end{equation}
再来证明eq. 2 ，我们仍然使用球坐标，将射线 OA 作为极轴，面 OAC 为 $xz$ 平面，线面角中 “线” 的极坐标为 $(1, \theta, \phi)$，该点的 $y$ 坐标为 $\sin\theta \sin\phi$ 而 $y = \sin\gamma$，所以 $\sin\gamma = \sin\theta \sin\phi$．证毕．