极化电流
Prerequisite 电极化强度与极化电荷的关系
这里推导介质中麦克斯韦方程组的 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的那条．
首先证明磁介质产生的电流 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _M$，即证 $\oint \boldsymbol{\mathbf{j}} _M \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $．假设磁偶极子都是小线圈组成，曲面内部净电流为零，曲面边界只有穿过小线圈才能在曲面上产生净电流．
\begin{equation}
I = I_1 (\pi R^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ) n = \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }
\end{equation}
证毕．
再来看电介质的极化电流
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} _p = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}}
\end{equation}
所以根据
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \boldsymbol{\mathbf{j}} _M + \boldsymbol{\mathbf{j}} _p + \boldsymbol{\mathbf{j}} _E) = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} + \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}
\end{equation}
定义
磁场强度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{H}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0} - \boldsymbol{\mathbf{M}}
\end{equation}
则
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t}
\end{equation}
另外，假设磁介质为线性
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{H}}
\qquad
\mu_r = 1 + \chi_M
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} /\mu
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{j}} _M = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{j}} _f
\end{equation}
这就是说，$\chi > 0$ 的磁介质会使电流加强．