正交子空间
Definition 1 正交子空间
一个内积空间 $V$ 中，如果两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 任意各选一个矢量 ${v_1}$ 和 ${v_2}$，它们的内积都有 $ \left\langle v_1, v_2 \right\rangle = 0$，那么我们就说者两个子空间是正交的．
构造正交子空间的一种简单的方法是，在 $V$ 中找到两组矢量 $x_1, \dots, x_m$ 和 $y_1, \dots, y_m$，确保对任意 $x_i$ 和 $y_j$ 正交，那么 $x_1, \dots, x_m$ 张成的子空间必定和 $y_1, \dots, y_m$ 张成的子空间正交．
Theorem 1
从基底的角度来看，两个空间正交的充分必要条件是：如果从两空间各选一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$，有对任意 $i, j$ 都有 $ \left\langle \alpha_i, \beta_j \right\rangle = 0$．
Exercise 1
证明两个正交子空间中，只有零矢量是共同矢量．
正交子空间的直和
若两个正交子空间的维数分别为 $N_1$ 和 $N_2$，它们之和等于母空间的维数 $N$，那么就说它们是互补（complementary）的．若分别在这两个空间中取一组基底，那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底．
特殊地，如果 $V_1$ 和 $V_2$ 的两组基底合并后仍然正交归一，那么合并后就得到了直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中的一组正交归一基底．但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 $V_1$，$V_2$ 空间中的两组基底．
Example 1
三维几何矢量空间中，建立直角坐标系，那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 张成的二维矢量空间（平面）与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 张成的一维矢量空间（直线）正交．
Example 2
虽然 $xy$ 平面和 $xz$ 平面是两个垂直的平面，但它们并不是两个正交子空间．例如矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是两个平面共同的矢量，但 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和它本身不正交．
正交补
我们在 “直和” 中已经定义了补空间的概念，现在来定义一种特殊的补空间．
Definition 2 正交补空间
在 $V$ 空间中，若 $V_1$ 和 $V_2$ 正交且 $V = V_1 \oplus V_2$，那么 $V_1$ 和 $V_2$ 互为对方的正交补空间（Orthogonal complement），简称正交补．
未完成：正交补是唯一的
未完成：如何求正交补？