Definition 1 直和
令域 $\mathbb F$ 上的向量空间 $V_1$ 和 $V_2$ 为 $V$ 的两个子空间，满足
\begin{equation}
V_1 \cap V_2 = \left\{0 \right\}
\end{equation}
且任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量的线性组合，即
\begin{equation}
{v} = c_1 {v_1} + c_2 {v_2}
\qquad
({v_1} \in V_1,\ {v_2} \in V_2,\ c_1, c_2 \in \mathbb F)
\end{equation}
那么空间 $V$ 就是 $V_1$ 和 $V_2$ 的
直和空间，用
直和（direct sum）运算记为
\begin{equation}
V = V_1 \oplus V_2
\end{equation}
我们把这两个子空间叫做
互补的，即 $V_2$ 是 $V_1$ 在 $V$ 中的
补空间（complement space），反之亦然．
事实上，定义中eq. 2 也可以改为
\begin{equation}
{v} = {v_1} + {v_2} \qquad
({v_1} \in V_1,\ {v_2} \in V_2)
\end{equation}
即 “任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量之和”．这是因为 $c_1 v_1 \in V_1$，$c_2 v_2 \in V_2$．
直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的所有向量可以分为三组，分别是 $V_1$ 中的向量，$V_2$ 的向量，以及只能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中非零向量之和的向量．
多个子空间的直和
同理，也可以把向量空间 $V$ 表示为多个子空间的直和
\begin{equation}
V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n
\end{equation}
这可以理解为先把 $V_1, V_2$ 做直和，再把所得空间与 $V_3$ 做直和，等．事实上，根据向量加法的分配律，容易证明直和也满足分配律，即
\begin{equation}
(V_1 \oplus V_2) \oplus V_3 = V_1 \oplus (V_2 \oplus V_3)
\end{equation}
所以多个空间的直和也无需添加括号．
以下讨论为了方便只使用两个子空间，但对多个子空间同样适用．
直和空间的基底
从基底的角度来看，若 $V_1$ 和 $V_2$ 中分别有一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$，那么直和空间中 $V$ 的任意向量可以表示为
\begin{equation}
{v} = \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} \qquad (v\in V, a_i, b_i \in \mathbb F)
\end{equation}
Theorem 1
把 $V_1$ 的一组基底和 $V_2$ 的一组基底按任意顺序排列，可以得到 $V_1 \oplus V_2$ 的一组基底．
证明：由于已经有eq. 7 ，我们只需要证明 $\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}$ 是线性无关的．使用反证法，若有不全为零的系数使
\begin{equation}
\sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} = 0
\end{equation}
令
\begin{equation}
u = \sum_i a_i {\alpha_i} = -\sum_j b_j {\beta_j}
\end{equation}
那么 $u \ne 0$ 且 $u \in V_1$ 且 $u \in V_2$．这违反了
def. 1 ．证毕．
Corollary 1
直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 的维数等于向量空间 $V_1, V_2$ 的维数之和．
证明：thm. 1 中的基底有 $N_1 + N_2$ 个．证毕．
注意 $N_1, N_2$ 可以等于零，零维线性空间仅由零向量一个元素构成．
Example 1
若三维空间中有两个不共线的几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $，它们张成一个平面，或二维子空间．另有一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $，独自张成一条直线，即一维空间．
若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面内，则三个向量的所有线性组合仍然在该平面内，所以直和空间仍然是该平面．
若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在平面外，则三个向量将会张成整个三维空间，所以直和就是三维空间．此时两个子空间在该三维空间中互补．
Theorem 2 唯一分解
直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中，对任意 $v \in V$ 都存在唯一的 $v_1 \in V_1$ 和 $v_2 \in V_2$ 使得
\begin{equation}
v = v_1 + v_2
\end{equation}
证明：根据thm. 1 ，eq. 7 的分解中每个系数（坐标）$a_i, b_i$ 都是唯一的，右边的两个求和就分别是eq. 10 的 $v_1$ 和 $v_2$，所以 $v_1, v_2$ 也是唯一的．
Exercise 1
把以上定理和推论拓展到多个子空间的情况并证明．
未完成：给出一个空间和子空间，如何求一个补空间？