相似变换和相似矩阵
Definition 1 相似变换
令 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 为 $N$ 维酉矩阵．$N$ 维方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的相似变换为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger
\end{equation}
注意酉矩阵满足 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{U}} ^{-1}$．
由于酉矩阵乘以酉矩阵还是酉矩阵，多次相似变换可以看作一次相似变换．
对角化
若相似变换可以使矩阵变为对角矩阵，我们把这个过程称为对角化．
一个 $N$ 维矩阵可以被对角化当且仅当它是（实）对称矩阵或厄米矩阵．
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}}
\end{equation}
对角化后，对角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $ 的对角元就是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征值 $\lambda_i$，$ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的第 $i$ 列矢量就是 $\lambda_i$ 对应的本征矢．所以我们时常把 “对角化” 作为 “解矩阵的本征方程” 的同义词．
（未完成）
Example 1 由本征值和本征矢求矩阵
已知本征方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}}
\end{equation}
的 $N$ 个本征值和本征矢为 $\lambda_i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$，求矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $．
把eq. 2 两边分别左乘 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $，右乘 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger $，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger
\end{equation}