动能 动能定理（单个质点）
令质点的质量为 $m$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则质点的动能定义为
\begin{equation}
E_k = \frac12 m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 = \frac12 mv^2
\end{equation}
注意这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 表示速度矢量和自身的内积
，结果等于其模长的平方．
Theorem 1 质点动能定理
一段时间内质点动能的变化等于合外力对质点做的功．从变化率（即时间导数）的角度来看，动能定理也可以表述为质点的动能变化率等于合外力对质点的功率．
推导
力对质点做功的功率为
\begin{equation}
P = \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}}
\end{equation}
再来看动能的变化率
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} E_k = \frac12 m \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )
\end{equation}
由 “ 矢量内积的求导
”
eq. 6 ，$ \mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )}/\mathrm{d}{t} = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} $，上式变为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} E_k = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}}
\end{equation}
最后一步使用了牛顿第二定律（
eq. 2 ）．注意
eq. 2 与
eq. 4 相等，所以动能变化率等于合外力的功率．