映射的同伦和空间的同伦

Prerequisite　映射空间

　　同胚的两个拓扑空间是完全相同的，在拓扑学意义下无法区分．证明两个拓扑空间同胚通常是非常困难的，但证明两个拓扑空间不同胚却可以有很多容易计算的方法，其中一个方法就是证明两个拓扑空间不同伦．

　　同伦是一种比同胚弱一些的关系，是拓扑学中的一种代数性质．为了介绍拓扑空间中的同伦，我们首先要讨论映射的同伦．我们对于映射之间的关系和拓扑空间之间的关系都使用了 “同伦” 这一术语，但不会造成混淆，因为两个 “同伦” 之间是相互导出的概念，并且所针对的对象不同．

映射的同伦

Definition 1　映射的同伦

　　设有两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$，以及它们之间的两个连续映射 $f_0, f_1:X\rightarrow Y$；记 $I=[0, 1]$，取度量空间 $\mathbb{R}$ 的子空间拓扑．如果存在一个连续映射 $H: X\times I\rightarrow Y$，使得对于任何 $x\in X$，都有 $H(x, 0)=f_0(x)$ 和 $H(x, 1)=f_1(x)$．那么我们称 $f_0$ 和 $f_1$ 是同伦的映射，记为 $f_0\overset{H}{\cong} f_1$，或者简单记为 $f_0\cong f_1$；$H$ 称为从 $f_0$ 到 $f_1$ 的一个同伦或者伦移．

　　 同伦的本质是道路．这句话有两个含义：第一，固定 $X$ 中的某一点 $x_0$，那么 $H(x_0, I)=p(I)$ 就是一个 $I$ 到 $Y$ 的映射，即一条道路；第二，在映射空间 $Y^X$ 中来看，$f_0$ 和 $f_1$ 分别是两个点，而 $H$ 就可以看成是一个从闭区间 $I$ 到 $Y^X$ 上的映射，即道路．因此，我们有以下两条重要定理，一个写为习题，一个写为定理：

Exercise 1　映射的同伦是道路（对给定点）

　　各空间和映射的定义同def. 1 ．给定 $x_0\in X$，对于任何的 $t\in I$，构造映射 $p:I\rightarrow Y$，其中 $p(t)=H(x_0, t)$．证明 $p$ 是一个连续映射，从而说明 $p$ 是一条道路．

Fig. 1：exer. 1 的示意图．固定 $x_0$ 之后，$p(t)=H(x_0, t)$ 在 $Y$ 中画出一条轨迹．

Theorem 1　映射的同伦是道路（对同伦本身）

　　各空间和映射的定义同def. 1 ．如果 $p:I\rightarrow Y^X$ 满足 $p(t)=f_t$，那么 $p$ 是一个连续映射．由此可推论出，$H$ 本身可以看成是映射空间里的一条道路．

　　 证明：

　　直接引用thm. 2 ，令 $Z=I$，$f=H$，则 $p=\widetilde{f}$，因此 $p$ 是连续映射．

　　 证毕．

　　以上两条定理分别对于 $X$ 中的给定点以及 $X$ 整体的角度描述了同伦和道路的关系．第二个定理说明，两映射同伦，等价于说两映射是同一条道路的两端，还等价于说两映射是同一条道路上的两点．由于道路可以首尾相接从而得到新的道路，因此同一个映射空间中，如果 $f\cong g$ 而 $g\cong h$，那么一定有 $f\cong h$．这就是说，同伦关系是具有传递性的．考虑到同伦关系显然还有自反性和对称性，我们直接可得如下定理：

Theorem 2　

　　映射的同伦关系是一个等价关系．

　　映射之间还有复合运算，同伦关系也会继承到复合运算上．

Theorem 3　映射同伦关系的继承

　　设 $X$，$Y$ 和 $Z$ 是三个拓扑空间，$f_0, f_1:X\rightarrow Y$，$g_0, g_1:Y\rightarrow Z$ 分别是连续映射，且有 $f_0\overset{F}{\cong}f_1$ 和 $g_0\overset{G}{\cong}g_1$．那么 $g_0\circ f_0\cong g_1\circ f_1$．

　　 证明：

　　由于 $F:X\times I\rightarrow Y$ 和 $g_0:Y\rightarrow Z$ 都是连续映射，故 $g_0\circ F:X\times I\rightarrow Z$ 是一个连续映射，故 $g_0\circ F$ 是一个连接了 $g_0\circ f_0$ 和 $g_0\circ f_1$ 的道路．故 $g_0\circ f_0\cong g_0\circ f_1$．

　　类似地，$G\circ(f_1\times 1_I):X\times I\rightarrow Z$¹是一个连接了 $g_0\circ f_1$ 和 $g_1\circ f_1$ 的道路，故 $g_0\circ f_1\cong g_1\circ f_1$．

　　综上，由映射同伦的传递性，$g_0f_0\cong g_1f_1$．

　　 证毕．

拓扑空间的同伦

Definition 2　空间同伦

　　设有两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$，如果存在连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 和 $g:Y\rightarrow X$，使得 $gf\cong 1_X$ 且 $fg\cong 1_Y$，那么我们称 $X$ 和 $Y$ 是同伦的，或者说具有相同的伦型．$f$ 称为从 $X$ 到 $Y$ 的同伦等价，反过来 $g$ 是从 $Y$ 到 $X$ 的同伦等价，二者互为同伦逆．

　　同伦和同胚一样，也是一个等价关系，只是要更弱一些，使得不同胚的空间也有可能同伦．当然，同胚的空间必然同伦．

Exercise 2　

　　证明空间的同伦具有传递性，从而推论同伦是一个等价关系．

思考

　　在映射空间中所定义的紧开拓扑看起来很不接地气．本小节exer. 1 直观地阐释了同伦的意义，即对于每个固定点 $x_0\in X$，同伦 $H$ 都会在 $Y$ 中画出一条道路，这意味着每个点的映射都是连续地变化的．thm. 1 说明，整体上来看，$H$ 本身是映射空间 $Y^X$ 中的一条道路．从这个联系来看，思考一下为什么要用紧开拓扑来定义映射空间．

1. ^ $1_I:I\rightarrow I$ 是恒等映射，$f_1\times 1_I$ 的定义见乘积拓扑中的exer. 1 ．

映射的同伦和空间的同伦