三维欧几里得空间中的曲线
三维欧几里得空间是我们最为熟悉的空间，其性质也非常好，易于研究．本节讨论的是三维空间中的曲线的性质，引入曲率、挠率等概念，介绍了 Frenet 向量组以及该组中向量之间的关系．
一般欧几里得空间中曲线的概念
我们可以任意取定一个坐标系，把向量值函数 $f$ 分为 $n$ 个标量值函数，简称为 $f$ 的分量，由此来理解连续的含义．你可能自然会想确认，$f$ 的分量的连续性，和取定坐标系的方式是否有关？答案是无关的．这是因为我们可以用另一种方式来理解此处的 “连续”，那就是取集合 $I$ 与 $\mathbb{R}^3$，配上通常的拓扑——即 $I$ 取 $\mathbb{R}$ 的子拓扑，$\mathbb{R}^3$ 取 $\mathbb{R}$ 的乘积拓扑——所得到的拓扑空间，那么 $f$ 就是拓扑空间之间的映射，其连续性取决于拓扑意义上的连续性，和具体坐标系的选择就无关了．
要强调的一点是，即便两条曲线的轨迹一样，它们也不一定是同一条曲线．比如说，取 $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ 这两个函数，定义为 $f(t)= \begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} $ 和 $g(t)= \begin{pmatrix}\cos 2t\\\sin 2t\end{pmatrix} $，那么尽管它们的轨迹都是平面上的单位圆，但由于两条曲线的 “速度” 不一样，我们依然把它们认为是不同的曲线．
同样地，$f$ 本身的可微性，和具体坐标系的选择有关系吗？由于 “微分” 这一概念是实数空间特有的，我们没法像前面一样直接用拓扑的概念绕过坐标系的选择；但答案是一样的，无关．证明这一点的思路也可以应用到之前对一般曲线的讨论上去：考虑变换坐标系后各点的变换，会发现变换后的分量就是过渡矩阵乘以原先的函数列矩阵，也就是说，变换坐标后新的函数分量，是旧分量的某种线性组合．这样一来，变换前可微当且仅当变换后也可微，从而可知和变换无关．
和上述坐标变换的讨论类似，可证明光滑曲线的光滑性不依赖于坐标系的选择．
Frenet 向量组
Frenet 向量组是三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中特有的概念，是刻画可微曲线性质的优良工具．
Frenet 向量组中的第一个向量，是单位切向量．关于 $t$ 对曲线 $f(t)$ 求导就能得到切向量，如果把 $t$ 看作时间，那么切向量 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t)$ 也可以看成是曲线上一点的切速度．单位切向量就是方向与切速度相同，但长度为 $1$ 的向量．
为了得到单位切向量，我们可以用切速度除以切速度的大小来获得：$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t)/ \left\lvert \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t) \right\rvert $．但更简单的方法是，令切速度的大小恒为 $1$，或者说只讨论切速度大小恒为 $1$ 的可微曲线．当切速度恒为 $1$ 的时候，曲线走过的弧长就恒等于经过的时间，于是我们说这时是用弧长来作曲线的参数．弧长参数通常用字母 $s$ 表示．
Frenet 向量组中的第二个向量，是单位主法向量．对于处处可微的曲线，切向量总是存在的，但是主法向量不一定存在．主法向量的定义如下：
由于使用弧长参数以后，单位切向量的大小不变，因此 $N(s)$ 恒与 $T(s)$ 垂直．$N(s)$ 就是那第二个成员，单位主法向量．
Frenet 向量组中的最后一个成员，是单位副法向量，是用前两个向量叉乘而来的．
以上定义的副法向量必然是单位向量，因为 $T$ 和 $N$ 都是单位向量且正交．
Frenet 向量组可以用于构成所谓的Frenet 坐标架，也称活动坐标架．相比预先规定的自然坐标系，活动坐标架忽略了曲线在空间中的具体位置，更简洁和方便地表示了曲线本身的局部性质．
对于平面曲线，即整体都在一个平面上的曲线，其所在的平面就是每个点的密切平面．
曲率和扭率
曲率已经在def. 6 中定义清楚了，是表征单位切向量旋转速率的数字．要说明的是，如果单位切向量在某点处不变化，那么主法向量的概念就不复存在，也就没有 Frenet 向量组的后两位成员了．在这种情况下，我们说曲线在这一点处的曲率为．更一致的曲率定义方法如下：
当 Frenet 向量组存在时，还有一个重要的概念叫扭率或挠率，在有的文献中也会被称为第二曲率．
在定义扭率之前，我们要先讨论副法向量的一个性质：$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 和 $N(s)$ 平行．首先，因为单位副法向量的长度不变，故有 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 和 $B(s)$ 垂直．由于 $B=T\times N$，故 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)=[\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)]\times N(s)+T(s)\times\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)=T(s)\times\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$，进而可知 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 垂直于 $T(s)$．因此，$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 垂直于 $T$ 和 $B$，必然和 $N$ 在一条线上了．
曲率描述了曲线单位切向量方向变化的速率，越快则曲线弯曲程度越强．扭率则描述了曲线偏离平面曲线的程度，也就是其扭曲程度；也可以理解为，扭率描述了密切平面旋转的速率．
Frenet-Serret 公式
三维欧几里得空间中的可微曲线 $f(s)$，如果处处有非零曲率 $\kappa(s)$，且其扭率为 $\tau(s)$（可以为零），则它一定有 Frenet 向量组．$T$，$N$ 和 $B$ 具有如下关系：
证明：
- 根据 $N$ 的定义，直接可得eq. 1 ．
- 根据扭率的定义，直接可得eq. 3 ．
- 考虑到三个向量的方向关系，以及它们都是单位向量的事实，我们可以得到 $N=B\times T$．因此，$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }N=\frac{ \,\mathrm{d}{B} }{ \,\mathrm{d}{s} }\times T+B\times\frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{s} }=-\tau N\times T+B\times\kappa N=\tau B-\kappa T$．
证毕．