无限深圆形势阱
Prerequisite 定态薛定谔方程
，柱坐标中的亥姆霍兹方程
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = E\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\end{equation}
令 $k = \sqrt{2mE}$，得到标准形式的亥姆霍兹方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -k^2\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\end{equation}
使用分离变量法，角向波函数为
\begin{equation}
\Theta_{m_z}(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{im_z \theta}
\end{equation}
径向方程为
eq. 6 （$l = 0$，$x = kr$）
\begin{equation}
x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m_z^2)y = 0
\end{equation}
所以径向波函数为
\begin{equation}
R_{m_z}(r) = J_{m_z}(kr)
\end{equation}
从物理上来看，能量分为角速度产生的能量以及径向速度产生的能量，角动量已经由 $m_z$ 固定，所以 $r \to 0$ 时角速度产生的能量占主导，$J_{m_z}(kr)$ 的局部波长变长，而 $r\to \infty$ 时径向速度几乎占据所有能量，这时 $J_{m_z}(kr)$ 的局部波数趋近于 $k$．
再考虑到边界条件要求 $R_{m_z}(a) = 0$，可以得到每个能级的 $k_n$，$E_n = k_n^2/2$．波函数的正交性也可以从贝塞尔函数对应的正交归一性质得到．