Definition 1
类似实函数的导数，定义复变函数 $w = f(z)$（$f:\mathbb C\to \mathbb C$）的导数为
\begin{equation}
f'(z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h}
\end{equation}
其中 $h$ 也是一个复数．极限 $h \to 0$ 在这里是指 $h$ 可以在复平面上以任意方式趋近于 $0$ 都得到同一个极限值，否则极限不存在．
对于实变量的函数，只有正负两个方向趋于零，所以复变函数可导的条件更复杂．
Theorem 1 柯西—黎曼条件
令 $z = x + y \mathrm{i} $ 且
\begin{equation}
f(z) = u(x, y) + \mathrm{i} v(x, y)
\end{equation}
那么 $f(z)$ 在该点可导的充分必要条件是：实函数 $u,v$ 在复平面的某点 $z$ 可微，且
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad
\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}
该式被称为
柯西—黎曼条件（Cauchy-Riemann condition）．
可见若柯西—黎曼条件成立，函数 $u,v$ 的四个偏导数中只有两个是独立的．
在复平面的一个开集（链接未完成）$D$ 上，如果函数 $f(z)$ 处处复可微，那么它就是一个全纯函数（holomorphic function）也叫做解析函数（analytical function）；如果除了一些孤立点外处处复可微，就叫亚纯函数（meromorphic function）．
推导
根据全微分
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{w} = \,\mathrm{d}{u} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{v} = \left( \frac{\partial u}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial u}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \right) + \left( \frac{\partial v}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial v}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \right) \mathrm{i}
\end{equation}
如果直接由此计算 $ \mathrm{d}{w}/\mathrm{d}{z} = ( \,\mathrm{d}{u} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{v} )/( \,\mathrm{d}{x} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{y} )$ 会发现结果和 $ \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 有关，即与
eq. 1 中 $h$ 趋近于零点的方向有关．所以我们换一种思路，直接令导数为
\begin{equation}
f'(z) = a(z) + b(z) \mathrm{i}
\end{equation}
写成微分形式
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{w} = f'(z) \,\mathrm{d}{z}
\end{equation}
即
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{u} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{v} = (a + b \mathrm{i} )( \,\mathrm{d}{x} + \mathrm{i} \,\mathrm{d}{y} ) = (a \,\mathrm{d}{x} - b \,\mathrm{d}{y} ) + \mathrm{i} (b \,\mathrm{d}{x} + a \,\mathrm{d}{y} )
\end{equation}
该式对比
eq. 4 得
\begin{equation}
a = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad
b = - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}
这样，不仅得到了柯西—黎曼条件，也得到了导数的表达式
\begin{equation}
f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{i} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{i}
\end{equation}
可见我们仅需要 $u, v$ 中的一个就可以求出导数，因为它们并不是独立的．
未完成：举例子，例如 $\exp$, $z^a$ 等都满足柯西—黎曼