动量和能量 一维势能曲线

             

Prerequisite　经典力学

动量和动能

　　 动量描述了了物体运动的物体的惯性．惯性可以简单理解为让一个运动的粒子停下来有多困难．这个困难程度可以用力乘以时间表示．例如一个在光滑水平面有动量为 $p = mv$ 的箱子，要使它停下来，人就要沿运动反方向以恒力 $F$ 推箱子，若一段时间 $t$ 后箱子停了下来，那么有 $p = Ft$．同理，如果要使箱子从静止达到动量 $p$，就需要以恒力 $F$ 作用在箱子上同样的时间．所以动量是力在时间上的累加．

　　 相比动量，能量可以看作是力在空间上的累加．同样是箱子的例子，如果想让静止的箱子达到动能 $E_k = mv^2/2$（角标 k 表示 kinetic energy），就需要用恒力 $F$ 推箱子，在力的方向移动距离 $s$，使 $E_k = Fs$．

　　 理论上，有了牛顿定律我们就可以求出所有物体的运动情况，那为什么还需要动量和动能（能量）？因为动量和能量在封闭系统中是守恒的，可以只根据初末状态就得到一些结论而不需要知道具体过程．例如两个箱子碰撞，我不需要知道碰撞用了多久，缓冲距离是多少，材料的性质等等就可以根据碰撞前的状态求出碰撞后的状态．又例如物体从静止开始延光滑轨道滚落一定高度，不需要知道过程就可以直到末速度．由此可见守恒量在物理中具有十分重要的意义．

势能曲线

　　 在更高级的物理理论中我们往往不讨论力，而是势能．一维直线运动中，如果受力只是关于位置的函数（如简谐振子），那么这个力（也可以称为力场）就叫保守力，保守力在高维的情况下有更复杂的定义先不讨论．之所以叫做保守力，是因为其对质点做功只与质点的初末位置有关而与运动过程无关．对于保守力，我们可以计算出每个位置的势能，也叫势能函数或势能曲线．一维直线运动情况下，坐标为 $x$，势能函数可以记为 $V(x)$．某个位置力的大小就是 $V(x)$ 曲线的斜率（曲线与水平方向夹角的 $\tan$ 值），方向就是曲线下降的方向．粒子沿受力方向运动，动能增加，势能减小，总能量/机械能（动能加势能）不变．

Fig
Fig. 1：轨道小车模型，小车只能在其所在的 $V(x) \leqslant E$ 区间内往返运动，每个位置的速度都是确定的．

　　 作为一个形象但不准确的比喻，想象高低不平的光滑 “直” 轨道上的小车，我们可以让轨道的高度为 $h(x)$，小车在 $x$ 处时重力势能为 $V(x) = mgh(x)$，这样具有一定总机械能（动能加势能）$E$ 的小车就会在轨道上运动．机械能是守恒的，所以小车高度越高，势能越大，动能就越小．动能为零时势能最大，小车达到最高点，满足 $V(x) = E$，然后掉头返回．如果小车开始时在某 $E \leq V(x)$ 的区间运动，那么它将一直在该区间往返运动，某点的速度为1

\begin{equation} v(x) = \sqrt{\frac{2}{m}[E - V(x)]} \end{equation}
注意这个速度是沿轨道方向的速度而不是 $x$ 方向的速度，这就是为什么说这个模型 “不准确”．在真正的直线运动中该式同样成立．

　　 根据势能曲线，我们可以给一些特殊的点分类．当势能曲线的切线水平，即质点受力为零时，这样的点叫做平衡点．但平衡点也分为两种情况，如果平衡点处的势能曲线是凸的，即处于 “山峰”，那么它是非稳定的平衡点；当平衡点处势能曲线是凹的，即处于 “山谷”，那么它是稳定的平衡点．请读者找出fig. 1 中的稳定和非稳定平衡点．

简谐振子

Fig
Fig. 2：简谐振子的势能曲线

　　 作为势能曲线的一个经典例子，我们来看简谐振子．若一个质点通过质量不记的理想弹簧固定在 $x$ 轴的某点，把质点的平衡位置作为原点，那么势能曲线为 $V(x) = kx^2$（fig. 1 ）．若质点的总能量为 $E$，那么我们根据曲线可以马上确定质点的运动范围，即简谐运动的振幅 $A$．当质点经过原点时，势能为零，动能取最大值 $E$；当质点达到 $x = \pm A$ 时，动能为零，势能取最大值 $E$．

势阱和势垒

　　

未完成：未完成
在量子力学中，有几个特殊的势能曲线较为常见，我们先看看他们的经典力学版本．

　　

未完成：有限深/无限深势阱/势垒，散射

　　 仍然考虑一维运动，假设光滑水平面上有两面墙，粒子来两面墙之间来回反弹，我们该用什么样的势能函数呢？如果墙是软的，例如把两面墙比作弹簧，得到的势能将如（未完成）

　　 中的公式不会出现力，只会出现势能．常见的势能（三角势垒见下文，方势垒，方势阱，边界处斜率无穷大怎么办？类比碰撞时的冲力．初始动能（总能量），大于，小于最大势能的时候分别会沿原方向运动，反弹．更理想的情况：无限深势阱（小球在两面墙之间无限反弹），delta 势垒/势阱（受到一个微小扰动，相当于无限窄的方势垒/势阱），对经典粒子运动没有任何影响（物理上不存在，但是作为模型有计算简单的优点）．

1. ^ 推导：$\frac{1}{2}mv(x)^2 = E - V(x)$

         

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