连带勒让德多项式
1连带勒让德方程来源于在球坐标系中使用分离变量法解拉普拉斯方程（球坐标系中的拉普拉斯方程）中，连带勒让德方程为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} P_l^m(x) \right] + \left[l(l-1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] P_l^m(x) = 0
\end{equation}
当 $m = 0$ 时，该方式变为勒让德方程（
eq. 1 ）．
我们只讨 $l$ 为非负整数，$m$ 为绝对值不大于 $l$ 的整数的情况，且只讨论区间 $x\in [-1,1]$．此时连带勒让德函数的解 $P_l^m(x)$ 可用勒让德多项式 $P_l(x)$ 生成
\begin{equation}
P_l^m(x) = (-1)^m (1 - x^2)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}{x}^{m}} P_l(x)
\end{equation}
注意当 $m = 0$ 时有 $P_l^m(x) = P_l(x)$．当 $m$ 为奇数时，$P_l^m(x)$ 并不是一个多项式，但习惯上我们称之为勒让德多项式．式中 $(-1)^m$ 叫做
Shortley-Condon 相位，量子力学中通常会使用该相位，但在一些文献中不包含这个相位（同样满足微分方程）．
归一化
勒让德多项式的归一化系数为（证明略）
\begin{equation}
A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}
\end{equation}
满足正交归一条件
\begin{equation}
\int_{-1}^1 [A_{l',m} P_{l'}^{m}(x)] [A_{l,m} P_l^{m}(x)] \,\mathrm{d}{x} = \delta_{l,l'}
\end{equation}
注意只有同一个 $m$ 的多项式之间正交．
其他性质
- 当 $m = 0$ 时，见勒让德多项式的性质．
- 端点值：对任意 $l, m$ 有
\begin{equation}
P_l^m(1) = \delta_{m, 0}
\qquad
P_l^m(-1) = (-1)^l \delta_{m, 0}
\end{equation}
- $m$ 取相反数时，对称或反对称关系为
\begin{equation}
A_{l,-m} P_l^{-m}(x) = (-1)^m A_{l,m} P_l^m(x)
\end{equation}
\begin{equation}
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面．