pi 介子衰变
贡献者： 周思益
1. $\pi$ 介子衰变
这一节我们来讨论 $\pi$ 介子衰变。我们首先讨论带电 $\pi$ 的衰变
\begin{equation}
\pi^- \rightarrow l^- + \bar \nu_l~.
\end{equation}
其中 $l$ 是 $\mu$ 子或电子。
我们不知道 $W$ 粒子是如何耦合到 $\pi$ 介子的。但是我们知道 $W$ 粒子是如何耦合到轻子的，这个过程的散射振幅可以写为
\begin{equation}
\mathcal M = \frac{g_w^2}{8(M_W c)^2} [\bar u (3) \gamma_\mu (1-\gamma^5)v(2)] F^\mu~.
\end{equation}
其中 $F^\mu$ 是描写 $\pi$ 到 $W$ 的形状因子。它是某个标量乘上 $p^\mu$.
\begin{equation}
F^\mu = f_\pi p^\mu~.
\end{equation}
$f_\pi$ 被称为 $\pi$ 衰变常数。
对出射自旋求和，我们可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle |\mathcal M|^2 \rangle &= \bigg[ \frac{f_\pi}{8} \bigg( \frac{g_w}{M_W c} \bigg)^2 \bigg]^2 p_\mu p_\nu {\rm Tr} [\gamma^\mu (1-\gamma^5) p\!\!\!/_2\gamma^\nu (1-\gamma^5) (p\!\!\!/_3 + m_l c) ]
\\
& = \frac{1}{8} \bigg[ f_\pi \bigg( \frac{g_w}{M_W c} \bigg)^2 \bigg]^2 [2(p\cdot p_2)(p\cdot p_3) - p^2 (p_2\cdot p_3) (p\cdot p_3) - p^2 (p_2 \cdot p_3) ] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
化简得
\begin{equation}
\langle |\mathcal M|^2 \rangle = \bigg( \frac{g_w}{2 M_W} \bigg)^4 f_\pi^2 m_l^2 (m_\pi^2 - m_l^2) ~.
\end{equation}
由散射振幅的模平方可以计算衰变率
\begin{equation}
\Gamma = \frac{|\mathbf p_2|}{8\pi \hbar m_\pi^2 c} \langle | \mathcal M | \rangle ~.
\end{equation}
经计算
\begin{equation}
\Gamma = \frac{f_\pi^2}{\pi \hbar m_\pi^3} \bigg( \frac{g_w}{4 M_W} \bigg)^4 m_l^2 (m_\pi^2 - m_l^2)^2 ~.
\end{equation}
电子和 $\mu$ 子衰变率的比值
\begin{equation}
\frac{\Gamma(\pi^- \rightarrow e^- +\bar \nu_e)}{\Gamma(\pi^- \rightarrow \mu^- +\bar \nu_\mu)} = \frac{m_e^2(m_\pi^2-m_e^2)^2}{m_\mu^2(m_\pi^2-m_\mu^2)^2} = 1.283 \times 10^{-4}~.
\end{equation}
$\pi$ 喜欢 $\mu$ 子道。
这个结果非常令人吃惊，因为电子要比 $\mu$ 子轻很多。相空间喜好衰变到那些质量降低越大越好的道，除非某种守恒定律介入。一般来说，最轻的末态是最常见的，但是 $\pi$ 衰变是著名的例外。
式 7 如果电子是无质量的，$\pi^- \rightarrow e^-+ \bar \nu_e$ 将完全被禁戒。因为 $\pi$ 自旋为 0，因此电子和反中微子必须以相反的自旋出现，因此具有相同的螺旋度。
反中微子总是右手，因此电子也必须是右手。但如果电子是无质量的，它应只作为左手粒子存在。