贡献者： certain_pineapple; Giacomo
1. 群代数
注：本文主要以复表示为例。
定义 1 群空间
对于有限群 $G=\{g_1,g_2...g_m\}$，设 $V_G$ 为群元在复数域 $\mathbb{C}$ 是的所有线性叠加的集合：
\begin{equation}
V_G=\{\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu|x_\nu \in \mathbb{C},g_\nu \in G\}~,
\end{equation}
在这个基础上我们可以定义加法和数乘。
设 $x=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu$，$y=\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu$，$a\in \mathbb{C}$，则有：
\begin{align}
x+y&=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu+\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu=\displaystyle\sum_\nu(x_\nu+y_\nu)g_\nu\\
ax&=\displaystyle\sum_\nu (ax_\nu) g_\nu~.
\end{align}
这样显然构成了一个 $m$ 维的线性空间，$m$ 为群 $G$ 的阶数。
线性空间的一组基为 $\{g_1,g_2...g_m\}$，称为自然基底。
在定义完群空间后我们进一步定义群空间中的代数乘法，使其构成一个代数，也就是本节标题——群代数。
定义 2 群代数
设 $V_G$ 为群 $G$ 的群空间，且有 $x=\displaystyle\sum_\nu x_\nu g_\nu$，$y=\displaystyle\sum_\mu y_\mu g_\mu$，我们定义其乘法规则为：
\begin{equation}
x * y = \displaystyle\sum_{\nu} x_\nu g_\nu \sum_{\mu} y_\mu g_\mu =
\displaystyle\sum_{\nu\mu}(x_\nu y_\mu) (g_\nu g_\mu)~,
\end{equation}
其中 $g_\nu g_\mu$ 一项依照群乘法表的乘法规则给出结果。
在这样的乘法规则下 $V_G$ 构成了复数域 $\mathbb{C}$ 上的一个结合代数，称为 $A_G$。
注：群代数的结合律来自于群元的结合律。
我们同样可以在这个线性空间中定义内积
$$(g_\alpha,g_\beta)=\delta_{\alpha,\beta}~.$$
在群代数的视角下，群元的相乘可以视作一个算符，由群元映射出的算符给出的表示被称为正则表示，由算符定义不同可以分为左正则表示和右正则表示。
这样给出的算符可以验证其的确符合群乘法规则：
$$L(g_\alpha)x=g_\alpha x,R(g_\alpha)x=xg_\alpha^{-1}~.$$
容易验证这两种方法定义的算符均符合群的乘法规则，可以构成一个表示。
表示矩阵的形式也极为简单，仅仅是标定了群元相乘的结果，我们以 $C_3$ 群的左正则表示为例(以 $\{e,a,a^2\}$ 为基)。
$$D(e)=\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0 &1 & 0 \\
0&0&1
\end{pmatrix},
D(a)=\begin{pmatrix}
0&0& 1\\
1&0 & 0 \\
0&1&0
\end{pmatrix},
D(a^2)=\begin{pmatrix}
0& 1& 0\\
0 &0 & 1 \\
1&0&0
\end{pmatrix}~.$$
2. 类空间
定义 3
设集合 $C_\alpha=\{s_1,s_2,...s_{n(\alpha)}\}$ 为群 $G$ 的一个共轭类。
那么定义群代数空间 $A_G$ 中矢量 $c^\alpha$ 为类算符。
$$c^\alpha=\displaystyle\sum_{s_i\in C_\alpha}s_i~.$$
根据共轭类的定义可以看出类算符与所有群元对易。
完全类似上文的，可以定义：
定义 4 类空间
以群 $G$ 中所有类算符构成的线性空间
$$V_C=\{x=\displaystyle\sum_\alpha x_\alpha c^\alpha,x_\alpha \in \mathbb{C}\}~$$
称为群 $G$ 的类空间，类空间是群空间的一个子空间。