C 和 C++ 的整数（笔记）

                     

贡献者： addis

　　¹本文的模（modulo）运算都是指 $M$ 加减整数个 $N$ 后使结果范围在 $0$ 到 $N-1$ 之间（包含），$N$ 只能是正整数。本文中 $n$ 表示整数类型的比特数。

1. 无符号整数

• 取值范围为 $0$ 到 $2^n-1$
• 如果溢出就把二进制的高位截去，也就是模 $2^n$

2. 有符号整数

• 几乎所有现代 cpu 使用 2 的补表示有符号整数，此时取值范围为 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$
• 有符号整数运算溢出结果无定义，虽然大部分机器会 wrap around，但不要依赖该行为。
• 不要用有符号整数表示 bit field，一律用无符号。

2 的补

　　 有符号整数类型的负数在内存中的二进制表示常采用 2 的补（2's complement）储存（例如 x86-64 架构）。若采用 2 的补，以下几点成立

• 一个整数和它的相反数相加等于 $2^n$
• 范围内最大的整数加上 1 等于范围内最小的整数，即加 1 后取相反数（如 $n = 8$ 时 $127 + 1 = -128$）
• 若保持 bit 不变，无符号类型变为有符号类型只需减去 $2^n$，反之则加上 $2^n$。例如 $n = 8$ 时无符号 156 和有符号 -100 的各个 bit 相同。

　　 也有其他表示负数的方法，例如最左边的 bit 表示符号，剩余表示大小。

　　 数学上，可以将无符号的整数类型及其加法构成一个 $2^n$ 元循环群（见例 2 ）。若采用 2 的补，由于群元素可以用任何符号，有符号整数类型可以看作将无符号整数类型的后一半元素减去 $2^n$，而群运算保持不变。

3. 转换规则

　　 整数之间的转换规则：

• 超出范围的任何类型整数值转换为无符号整型时，将其模 $2^n$（$n$ 是目标类型的比特数），例如 $n = 8$ 时 -1 转换为 255。
• 超出范围的任何值转换为有符号整型，结果无定义。
• 如果你想要把一个变量转换为另一个同长度变量并保持每个 bit 不变，用 memcpy() 函数。

　　 其他基本类型转换规则：

• 其他类型转换为 bool：0 变为 false，否则变为 true
• bool 转换为其他类型：true 变为 1，false 变为 0
• 浮点类型转换为整数类型：向 0 取整
• 整型转为浮点：如果位数太多会不精确
• signed 和 unsigned 整数之间比较大小或相等或时（如果开了 -Wall，编译器会给出警告），前者会先转换为后者。这就导致负数有可能大于正数。做加减乘除时也一样，这叫做 usual arithmetic conversions。

4. Integral Promotion

• 当较短的整型（bool, char, signed char, unsigned char, short, unsigned short 等，包括 11 以后的新标准加入的一些类型）参与二元运算如

  +, -, *, /, %, &, |, ^, <<, >>, ==,
  !=, <, >, <=, >=, +=, -=, *=, /=, %=,
  &=, |=, ^=, <<=, >>=
  

  以及 :? 的第二和第三个参数，会先转换为较大的整型，这就叫 integral promotion 或 integer promotion
• 如果 int 可以表示该类型的全部范围，那么转换为 int
• 否则如果 unsigned int 可以表示该类型的全部范围，那么转换为 unsigned int
• 否则不发生 integral promotion。

5. Usual Arithmetic Conversion

• 当使用上述二元运算时，如果 integral promotion 以后仍然不是同一个类型，那么就用 usual arithmetic conversion 确保转换为同一个类型。如果两个整型有 unsigned 类型，那么就转换为 unsigned 类型，否则转换为 signed 类型。

6. Integer Literal

　　²这里讨论 c++11 标准。literal 中的字母不区分大小写，0 开头表示 8 进制， 0x 开头表示 16 进制，数字后面可以加 u，以及 l 或 ll 的一个（可以是大写）。literal 的类型会根据数值的大小而变化。

• 最小是 int，最大是 long long int 每一种前面都可以加 unsigned
• 有后缀 u 必定是 unsigned
• 没有 u 的十进制必定是 signed，其他进制可以是 signed 或 unsigned（首选 signed）
• 后缀 l 和 ll 分别规定类型至少为 long 和 long long，如果数值超出就不断升级

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1. ^ 参考 C++ Primer [1]。
2. ^ 参考 cppreference。

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[1] ^ S. B. Lippman, et al. C++ Primer 5th edition.