滑块和运动斜面问题

贡献者：零穹; addis

图 1：受力分析

　　在滑块斜面问题的基础上，如果我们假设斜面质量为 $M$, 滑块质量为 $m$，滑块、斜面、地面三者之间均无摩擦，那么滑块在斜面上自由下滑时，相对斜面的加速度是多少呢？

　　令 $x, y$ 为滑块水平方向和竖直方向的位移。$X$ 为斜面水平方向的位移，$l$ 为滑块相对斜面的位移大小。对滑块与斜面组成得系统而言，在水平方向不受力，动量守恒，质心在水平方向速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v_{cx}}} $ 不变。以系统质心所在竖直方向为 $y$ 轴（向上为其正方向）地面为 $x$ 轴（向右为其正方向）建立直角坐标系，则有

\begin{equation} mx+MX=0 \qquad x-X=l\cos\theta~, \end{equation}

解得

\begin{equation} x = \frac{M}{M + m}l\cos\theta \qquad X = -\frac{m}{M + m}l\cos\theta~. \end{equation}

另外竖直方向有

\begin{equation} y = -l\sin\theta~. \end{equation}

　　以下介绍三种方法，都可以解得滑块相对斜面的加速度为

\begin{equation} a = \ddot l = \frac{g\sin\theta(M+m)}{M + m\sin^2\theta}~. \end{equation}

1. 受力分析法

　　以地面为固定坐标系，斜面为平动坐标系，初始时刻两坐标系重合。

　　由运动学关系式：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r_{O}}} + \boldsymbol{\mathbf{r_{e}}} ~. \end{equation}

其中，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为物体相对固定坐标系中的位矢、$ \boldsymbol{\mathbf{r_{O}}} $ 为平动坐标系基点 $O$ 的位矢、$ \boldsymbol{\mathbf{r_{e}}} $ 为物体相对平动坐标系的位矢。
带入

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} =(x,y)\qquad \boldsymbol{\mathbf{r_O}} =(X,0)\qquad \boldsymbol{\mathbf{r_e}} =(l\cos\theta,-l\sin\theta)~, \end{equation}

得

\begin{equation} x=X+l\cos\theta \qquad y=-l\sin\theta~. \end{equation}

对物块受力分析，如图 1 ，由牛顿第二定律式 2

\begin{equation} m\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }=m \boldsymbol{\mathbf{g}} + \boldsymbol{\mathbf{N}} ~. \end{equation}

带入 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} =(0,-g)$、$N=(N\sin\theta,N\cos\theta)$，得

\begin{equation} m(\ddot x,\ddot y)=(N\sin\theta,-mg+N\cos\theta)~. \end{equation}

　　对斜面，其合外力沿 $x$ 负方向，大小为 $N\sin\theta$，对其运用牛顿第二定律

\begin{equation} M\ddot X=-N\sin \theta~. \end{equation}

联立式 7 、式 9 、式 10 ，得

\begin{equation} m \left(\frac{-N\sin\theta}{M}+\ddot l\cos\theta,-\ddot l\sin\theta \right) =(N\sin\theta,-mg+N\cos\theta)~, \end{equation}

解得式 4 。

2. 非惯性系法

预备知识 1　惯性力

　　这是最简单的方法。在斜面的参考系，滑块会受到向右的惯性力 $-m\ddot X$，所以沿斜面向下使用牛顿第二定律得

\begin{equation} -m\ddot X\cos\theta + mg\sin\theta = m\ddot l~, \end{equation}

把式 2 代入解得式 4 。

3. 拉格朗日方程法

预备知识 2　拉格朗日方程

　　考虑动量守恒，这个系统只有一个自由度，即一个广义坐标 $l$。拉格朗日量等于

\begin{equation} \begin{aligned} L = T - V &= \frac12 m(\dot x^2 + \dot y^2) + \frac12 M \dot X^2 - mgy\\ &= \frac{1}{2}m \left(\frac{M\cos^2\theta}{M + m}+\sin^2\theta \right) \dot l^2 + mg\sin\theta \cdot l\\ &=\frac{1}{2}m\frac{M+m\sin^2\theta}{m+M}\dot{l}^2+mg\sin\theta\cdot l~. \end{aligned} \end{equation}

代入拉格朗日方程（式 1 ）

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot l} = \frac{\partial L}{\partial l} ~, \end{equation}

有

\begin{equation} m\frac{M+m\sin^2\theta}{m+M}\ddot{l}=mg\sin\theta~, \end{equation}

解得式 4 。