贡献者： int256
预备知识 数论函数 theta 与 psi 的阶
，
二项式定理
定理 1 Bertrand 定理
对于足够大的 $n$，那么至少存在一个素数 $p$ 使得
\begin{equation}
n < p \le 2n ~,
\end{equation}
或者等价地说，若 $p_m$ 为第 $m$ 个素数，则对于每个足够大的 $m$ 都有
\begin{equation}
p_{m+1} < 2 p_m ~.
\end{equation}
证明：这两个命题是等价的。我们考虑式 1 的证明。我们取足够大的 $n$，不妨令 $n > 2^9 = 512$，假设没有满足 $n < p \le 2n$ 的素数存在，沿用数论函数 theta 与 psi 的阶中式 14 的记号，设 $p$ 是 $N$ 的一个素因子，就有 $\alpha_p \ge 1$，而由于假设，$p \ge n$，若 $\frac 23 n < p \le n$ 则
\begin{equation}
2p \le 2n < 3p, ~ p^2 > \frac 49 n^2 > 2n~,
\end{equation}
从而 $\alpha_p$ 可以表示为
\begin{equation}
\alpha_p = \left\lfloor \frac{2n}p \right\rfloor - 2 \left \lfloor \frac np \right \rfloor = 2 - 2 = 0 ~,
\end{equation}
从而对于 $N$ 的每个素因子 $p$ 都有 $p \le \frac23 n$。利用
推论 1 可以得到
\begin{equation}
\sum_{p | N} \ln p \le \sum_{p\le \frac 23 n} \ln p = \vartheta(\frac 23 n) \le \frac 43 n \ln 2 ~.
\end{equation}
若 $\alpha_p \ge 2$ 则利用
式 18 可以得到
\begin{equation}
2 \ln p \le \alpha_p \ln p \le \ln\left(2n\right) , ~ p \le \sqrt{2n } ~,
\end{equation}
因此最多有 $\sqrt{2n}$ 个这样的 $p$，从而
\begin{equation}
\sum_{\alpha_p \ge 2} \alpha_p \ln p \le \sqrt{2n} \ln\left(2n\right) ~,
\end{equation}
而利用
式 5 可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\ln N &\le \sum_{\alpha_p = 1} \ln p + \sum_{\alpha_p \ge 2} \alpha_p \ln p ~\\
& \le \sum_{p | N} \ln p + \sqrt{2n} \ln\left(2n\right) ~\\
& \le \frac43 n \ln 2 + \sqrt{2n} \ln\left(2n\right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
而 $N$ 是 $2^{2n} = (1+1)^{2n}$ 的二项式系数展开式中最大的一项，故
\begin{equation}
2^{2n} = 2 + \binom{2n}{1} + \binom{2n}{2} + \cdots + \binom{2n}{2n-1} \le 2nN ~.
\end{equation}
其中 $\binom{a}{b} = C^b_a$ 就是二项式系数。
联立式 8 与式 9 会得到
\begin{equation}
2n \ln 2 \le \ln\left(2n\right) + \ln N \le \frac43 n \ln 2 + (1+\sqrt{2n}) \ln\left(2n\right) ~.
\end{equation}
而可以简化为 $2n\ln2\le3(1+\sqrt{2n}) \ln\left(2n\right) $。记
\begin{equation}
j = \frac{ \ln\left(n/512\right) }{10 \ln 2} ~,
\end{equation}
则 $2n = 2^{10(1+j)}$，由于 $n > 512$，$j > 0$，可以再把不等式化为
\begin{equation}
2^{10 (1+j)} \le 30(2^{5+5j} + 1)(1+j) ~,
\end{equation}
从而
\begin{equation}
2^{5j} \le 30 \times 2^{-5} (1 + 2^{-5 - 5j})(1+j) < (1-2^{-5})(1+2^{-5})(1+j) < 1+j ~,
\end{equation}
而 $2^{5j} = \exp\left(5j\ln2\right) >1+5j\ln2>1+j$，矛盾！
综上，对于大 $n$（$n > 512$），必定存在这样的素数。而对于小 $n$ 可以直接证明也成立。这就完成了证明！