郑州大学 2010 年 考研 量子力学

                     

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1. (30 分，每小题 10 分)

(1)

　　 证明如果体系在 $t=0$ 时刻的波函数 $\mathrm{\Psi }(x,0)$ 是归一化的，那么在以后任意时刻波函数也是归一化的。

　　 证明： $$\frac{d}{dt}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^{2}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\ast }}{\partial t}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t})dx$$ 代入薛定谔方程： $$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V(x)]\mathrm{\Psi }$$ 可得： $$\frac{d}{dt}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^{2}dx=0$$ 从而： $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^{2}dx=\text{常数}$$ 若 $\mathrm{\Psi }(x,0)$ 是归一化的，则 $\mathrm{\Psi }(x,t)$ 也是归一化的。

(2)

　　 证明对易关系： $$[x,f(p_x)]=i\hslash \frac{df}{d{p}_x}$$ 证明：

　　 在动量表象 $x=i\hslash \frac{\partial }{\partial p_x}$，设 $\mathrm{\Phi }(p_x)$ 是任意函数，有：