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证明如果体系在 $t=0$ 时刻的波函数 $\Psi(x, 0)$ 是归一化的，那么在以后任意时刻波函数也是归一化的。
证明： $$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \Psi(x,t) \right|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \Psi + \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx~$$ 代入薛定谔方程： $$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \Psi~$$ 可得： $$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \Psi(x,t) \right|^2 dx = 0~$$ 从而： $$\int_{-\infty}^{\infty} \left| \Psi(x,t) \right|^2 dx = \text{常数}~$$ 若 $\Psi(x, 0)$ 是归一化的，则 $\Psi(x,t)$ 也是归一化的。
证明对易关系： $$\left[x, f(p_x)\right] = i\hbar \frac{df}{dp_x}~$$ 证明：
在动量表象 $x = i\hbar \frac{\partial}{\partial p_x}$，设 $\Phi(p_x)$ 是任意函数，有：