浙江大学 2012 年考研量子力学

贡献者：待更新

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1. 第一题（35 分）简答题

证明厄米算符的本征值为实数。
对于 $\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + α {\hat{l}}_{z}$ （ $α$ 为常数），下列力学量中哪些是守恒量？ $\hat{H}, {\hat{p}}_{x}, {\hat{p}}_{y}, {\hat{p}}_{z}, {\hat{p}}^{2}, {\hat{L}}_{x}, {\hat{L}}_{y}, {\hat{L}}_{z}, {\hat{L}}^{2}$
原子的受激辐射和自发辐射区别在哪里？
你知道哪些纯粹量子效应？
写出泡利矩阵： $σ^{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ^{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ^{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ 满足的对易关系。

2. 第二题（30 分）

　　电子被束缚在简谐振子势场 $V = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ 中，若引入

　　 $\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{x}{x_{0}} + \frac{i \hat{p}}{x_{0} m ω}), {\hat{a}}^{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{x}{x_{0}} - \frac{i \hat{p}}{x_{0} m ω}), x_{0} = \sqrt{ℏ / m ω}$

　　则有

　　 $H = ℏ ω ({\hat{a}}^{+} \hat{a} + \frac{1}{2})$

　　并有关系

　　 ${\hat{a}}^{+} | n ⟩ = \sqrt{n + 1} | n + 1 ⟩, \hat{a} | n ⟩ = \sqrt{n} | n - 1 ⟩$

　　显然基态满足 $\hat{a} | 0 ⟩ = 0$

试求基态波函数。
进一步求第一激发态的波函数。
如果势阱中有两个电子(忽略它们间的相互作用)，它们整体的基态波函数是什么?(提示:电子为自旋 1/2 的全同粒子)。
如果加入均匀磁场 $B$ ，问当 $B$ 很强，超过某临界 $B_{c}$ 时，(3)中所述基态还会是基态吗?试具体求 $B_{c}$ .

3. 第三题（30 分）

　　有一个质量为 $m$ 的粒子处在如下势阱中：

　　 $V (x) = {\begin{cases} \infty, & x < 0 \\ - V_{0}, & 0 < x < a \\ V_{0}, & a < x < a + b \\ 0, & a + b < x \end{cases} （这里 V_{0} > 0 ）$

试求其能级与波函数。
问通过调节势阱宽度 $a$ ，能否让阱中的粒子有一定的几率穿透出来。

4. 第四题（20 分）

　　将质子看作是半径为 $R$ 的带电球壳，

　　 $V (r) = {\begin{cases} \frac{e}{R}, & r < R \\ \frac{e}{r}, & r > R \end{cases} （其中 e 为基本电荷值， a_{0} 为玻尔半径， R ≪ a_{0} ）$

　　计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一阶修正。

5. 第五题（20 分）

　　求哈密顿算符

　　 $H = σ_{1}^{x} σ_{2}^{x} + σ_{1}^{y} σ_{2}^{y} + α σ_{1}^{z} σ_{2}^{z}$

　　的本征值和本征矢量，试分析 $α = 1$ 时有何特点。提示：[泡利矩阵的下标 1, 2 表示第一个粒子和第二个粒子。因此可以用张量积来理解，即 $σ_{1}^{x} σ_{2}^{x} = σ_{1}^{x} \otimes σ_{2}^{x}$ 等等]。

6. 第六题（15 分）

　　有一个量子系统，假如你已知基态和激发态的波函数分别是 $ψ_{0}, ψ_{1}, ψ_{2}, \dots$ ，其对应于 $E_{0} < E_{1} < E_{2} < E_{3}, \dots$ ，把两个全同粒子（不考虑它们之间的相互作用）放到该系统：

对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。
对于自旋为 $1 / 2$ 的粒子，写出基态波函数。