浙江大学 2011 年考研量子力学

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1. 第一题(42 分)简答题:

　　
(1)什么是光电效应?什么是受激辐射?
(2)什么是斯达克效应?什么是塞曼效应?
(3)一维问题的能级的简并度最大是多少?
(4)写出测不准关系，并简要说明其物理含义。
(5)写出非简并微扰论的能级修正公式(到二阶)。
(6)放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关?
(7)由正则对易关系 $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 导出角动量的三个分量 \[ L_x = y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}, \quad L_y = z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z}, \quad L_z = x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}~ \] 的对易关系。

2. 第二题(28 分):

　　有一个质量为 $m$ 的粒子处在如下势阱中（这里 $V_0 > 0$）:

　　 \[ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ -V_0, & 0 < x < a \\ 0, & x > a \end{cases}~ \]

求其能级，求其波函数。
确定至少存在一个束缚态的条件。

3. 第三题(20 分):

　　原子序数较大的原子的最外层电子所感受到的原子核和内层电子的总位势可表示为

　　 \[ V(r) = -\frac{e^2}{r} - \alpha \frac{e^2}{r^2}, \quad \alpha \ll 1.~ \] 试求其基态能量。

4. 第四题(20 分):

　　分别回答下列两个问题：

如果把谐振子势 $V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ 变成 \[ V(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} m \omega^2 x^2, & |x| < a \\ \frac{1}{2} m \omega^2 a^2, & |x| \geq a \end{cases}~ \] 与原来能级比较，你认为会发生什么变化？
如果把谐振子势 $V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ 变成 \[ V(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} m \omega^2 x^2, & |x| < a \\ \infty, & |x| \geq a \end{cases}~ \] 你认为又会发生什么变化？

5. 第五题(20 分):

　　假定一个原子价中的单粒子能级有两个非简并的本征值 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$，它们对应的单粒子空间波函数分别设为 $\psi_1(\vec r)$ 和 $\psi_2(\vec r)$。

试求该阱中有两个自旋为零玻色型原子时，基态和第一激发态的波函数.
如果有两个自旋为 1 的玻色型原子，求基态和第一激发态的能级简并度.

6. 第六题:(20 分):

　　自旋 1/2 的海森堡模型是研究量子磁性系统的重要模型。

　　考虑三个自旋的简单情形,

　　 \[\hat{H}_0 = -J (\hat{S}_1 \cdot \hat{S}_2 + \hat{S}_2 \cdot \hat{S}_3 + \hat{S}_3 \cdot \hat{S}_1),~\] 其中 $J>0$ 为参数。

　　 (1) 试求其能量本征值。

　　 (2) 如果引入磁场则会有附加的 Zeeman 能, 那么总 Hamiltonian 成为:

　　 \[\hat{H} = -J (\hat{S}_1 \cdot \hat{S}_2 + \hat{S}_2 \cdot \hat{S}_3 + \hat{S}_3 \cdot \hat{S}_1) - B (\hat{S}_1 + \hat{S}_2 + \hat{S}_3),~\] 针对磁场 $B$ 不同的取值范围, 试确定其基态。