厦门大学 2000 年 考研 量子力学
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1. (30 分)回答和计算下列问题
- 由费密子组成的全同粒子体系，对于交换两个费密子，体系的波函数是对称的还是反对称的？
- 什么是简并度？一维自由粒子激发态所对应的能级是几重简并？
- 定义 \[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} ~ \] 试计算 \[ [z, [\hat{L}_x, \hat{P}_y]] = ?~ \] 其中 $z, \hat{L}_x, \hat{P}_y$ 分别是坐标 $\vec r$ 的 $Z$ 分量、角动量 $\vec{L}$ 的 $X$ 分量、动量 $\vec{P}$ 的 $Y$ 分量。
- 粒子在中心力场中运动，问：$\hat P_z$ 是否守恒量？为什么？
- 什么是宇称守恒？宇称算符是厄米算符吗？为什么？
2. (20 分)
粒子在一维势场 \[U(x) = \begin{cases} 0, & |x| < a \\\\ \infty, & |x| \geq a \end{cases}~\] 中运动，如图所示：
图 1
- 求该粒子的能级和对应的归一化波函数。
- 设粒子处于第一激发态，试求动量算符 $P$ 在此态上的平均值。