东南大学 2011 年 考研 量子力学

                     

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确：

1. 仅当体系处在定态时，守恒量的平均值才不随时间变化；
2. 若厄密算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 不对易，则它们一定没有共同本征态；
3. 一维谐振子的量子态空间是无穷维的；
4. 如体系处于力学量 $\hat{A}$ 的本征态，则测量 $\hat{A}$ 必会得到一个确定值；
5. 空间平移对称性导致宇称守恒。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于一维无限深方势井中，$V(x) = 0$，$(|x| < a/2)$；$V(x) = \infty$，$(|x| > a/2)$。试求能量本征值和归一化的本征函数。

　　 3.(15 分)一维谐振子的哈密顿量为 $$\hat{H} = \hat{p}^2/2m + m\omega^2 \hat{x}^2/2,~$$ 定义 $$\hat{a} \equiv (\alpha \hat{x} + i \hat{p}/\hbar\alpha)/\sqrt{2}, \quad (\alpha = \sqrt{m \omega / \hbar}).~$$，试证明：

1. $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$；
2. $\hat{H} = (\hat{N} + 1/2)\hbar \omega$，其中 $\hat{N}$ 定义为 $\hat{N} \equiv \hat{a}^\dagger \hat{a}$；
3. 若 $|\hat{n}\rangle$ 为 $\hat{N}$ 的本征态，即 $\hat{N}|\hat{n}\rangle = n|\hat{n}\rangle$，则 $\hat{a}^\dagger|n\rangle$ 也是 $\hat{N}$ 的本征态，并求相应的本征值。

　　 4.(15 分)一维谐振子哈密顿量为 $$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m\omega^2 \hat{x}^2}{2},~$$ 定义 $\hat{X}(t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{x} e^{-i\hat{H}t/\hbar}$，试证明：

1. $d\hat{X}(t)/{dt} = \hat{P}(t)/{m}, d\hat{P}(t)/{dt} = -m\omega^2 \hat{X}(t)$；
2. $\hat{X}(t) = \hat{x} \cos\left(\omega t\right) + (\hat{p}/{m\omega} ) \sin\left(\omega t\right) $；
3. $\hat{P}(t) = \hat{p} \cos\left(\omega t\right) - m\omega \hat{x} \sin\left(\omega t\right) $。

　　 5.(15 分)设 $|n\rangle$ 是某体系的一个非简并的能量本征态，试证明 $|n\rangle$ 一定是该体系所有守恒量的共同本征态。

　　 6.(15 分)一质量为 $m$ 带电量为 $q$ 的粒子在均匀磁场 $\mathbf{B} = (0,0,B)$ 中运动，磁场的矢量势选为 $\mathbf{A} = (-By,0,0)$，粒子的哈密顿算符为 $\hat{H} = (1/2m)(\hat{p} - q\mathbf{A}/c)^2$.

1. 动量 $\hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z$ 中哪些是守恒量？
2. 求粒子的能量本征值。

　　 7.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E$ 从左入射，受势场的散射：$V(x) = 0, (x < 0); V(x) = V_0, (x > 0)$，其中 $E > V_0 > 0$，计算反射系数和透射系数。提示：几率流密度公式为 $j(x) = (\hbar/i2m)(\psi^*\psi' - \psi^{*'}\psi)$.

　　 8.(15 分)2 个全同粒子组成体系的哈密顿量为 $\hat{H} = \hat{h}_1 + \hat{h}_2, \hat{h}_i = \hat{p}_i^2/2m + mw^2 x_i^2/2, (i = 1,2)$. $\hat{h}_i \phi_n(x_i) = \epsilon_n \phi_n(x_i), \epsilon_n = (n + 1/2)\hbar \omega, (n = 0,1,\cdots)$ 分以下两种情况写出体系的基态波函数和基态能量:

1. Bose 子；
2. Fermi 子。

　　 9.(15 分)设 $\hat{\sigma}$ 为泡利算符，$\hat{\sigma}_z$ 的归一化本征态为 $| \pm \rangle$，即 $\hat{\sigma}_z | \pm \rangle = \pm | \pm\rangle$.

1. 利用 $\hat{\sigma}_z \hat{\sigma}_x = -\hat{\sigma}_x \hat{\sigma}_z = i \hat{\sigma}_y$ 和 $\hat{\sigma}_z^2 = 1$ 证明 $\hat{\sigma}_z | + \rangle = e^{i \alpha} | - \rangle$，$(\alpha^* = \alpha)$；
2. 取 $\alpha = 0$，求 $\hat{\sigma}_z | \pm \rangle$，$\hat{\sigma}_y | \pm \rangle$。

　　 10.(15 分)一维谐振子的能量本征方程为 $\hat{H}|n\rangle = E_n^{(0)} |n\rangle$ 其中 $\hat{H} = \hat{p}^2/2m + mw^2 x^2 / 2$，$E_n^{(0)} = (n + 1/2)\hbar \omega$，$\langle n| \hat{x} | k \rangle =\left( \sqrt{k+1/2} \delta_{n, k+1} + \sqrt{k/2} \delta_{n, k-1} \right)/\alpha$。体系受到微扰哈密顿 $\hat{H}' = \lambda \hat{x}$ 的作用，试用以下公式计算能级 $E_k^{(0)}$ 的修正 $$E_k \approx E_k^{(0)} + \langle k | \hat{H}' | k \rangle + \sum_{n\neq k} \frac{|\langle n | \hat{H}' | k \rangle |^2}{E_k^{(0)} - E_n^{(0)}}.~$$