东南大学 2010 年 考研 量子力学

                     

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　　 1.(15 分)设粒子能级 $E_n$ 的简并度为 $f_n$，归一化的能量本征函数为 ${\varphi }_{n\alpha }(r)$ ($\alpha =1,2,\dots ,f_n$)，$t=0$ 时刻粒子的归一化波函数为 $\psi (r,0)=\sum _{n\alpha }{c}_{n\alpha }{\varphi }_{n\alpha }(r)$，试求：

1. $t$ 时刻粒子的波函数 $\psi (r,t)$；
2. $t$ 时刻粒子的能量平均值 $\bar{H}$。

　　 2.(15 分)设 ${\psi }_1(x)$ 和 ${\psi }_2(x)$ 均为与能级 $E$ 对应的能量本征函数，试证：

1. ${\psi }_1{\psi }_2^{\prime }-{\psi }_1^{\prime }{\psi }_2=c$ (常数)；
2. 若 ${\psi }_1$ 和 ${\psi }_2$ 均为束缚态波函数，则 ${\psi }_1{\psi }_2^{\prime }={\psi }_1^{\prime }{\psi }_2$。

　　 3.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于一维势场中 $V(x)=0,(0<x<a)$, $V(x)=\mathrm{\infty },(x<0,x>a)$，试求能量本征值和归一化的能量本征函数。

　　 4.(15 分)设粒子的能量 $E>V_0$ 从左入射，碰到势场 $V(x)=0,(x<0)$, $V(x)=V_0,(x>a)$，在 $0<x<a$ 的区域 $V(x)$ 是连续有限的函数，反射系数和透射系数分别为 $r$ 和 $t$。试证明：$r+t=1$。

　　 提示：几率流密度公式为 $j(x)=-(i\hslash /2m)({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime }-\psi {\psi }^{{\ast }^{\prime }})$。

　　 5.(15 分)试用测不准关系估计以下体系的基态能量：

1. 质量为 $m$ 的粒子处于长度为 $a$ 的一维无限深方势阱中；
2. 频率为 $\omega$ 的一维谐振子。

　　 6.(15 分)设平面转子的哈密顿量为 $\hat{H}={\hat{l}}_z^2/2I$, (${\hat{l}}_z=-i\hslash \partial /\partial \phi$)，试求归一化的能量本征函数、能量本征值、能级简并度。

　　 7.(15 分)设量子体系的哈密顿量为 $\hat{H}$，力学量算符 $\hat{A}$ 不显含时间 $t$，$t$ 时刻的量子态为 $\psi (t)$，$\hat{A}$ 的平均值为 $\bar{A}(t)$，求证： $$i\hslash d\bar{A}(t)/dt=\overline{[\hat{A},\hat{H}]}$$

　　 8.(15 分)电子总角动量为 $\hat{j}=\hat{l}+\hat{s}$，设 $|l,j,m_j⟩$ 为 ${\hat{l}}^2$, ${\hat{j}}^2$, ${\hat{j}}_z$ 的共同本征态：

1. 在此态下，${\hat{l}}^2$, ${\hat{j}}^2$, ${\hat{j}}_z$ 的本征值各是多少？
2. 利用 ${\hat{j}}^2={\hat{l}}^2+{\hat{s}}^2+2\hat{l}\cdot \hat{s}$，证明 $|lj{m}_j⟩$ 也是 $\hat{l}\cdot \hat{s}$ 的本征态，并求本征值。

　　 9.(15 分)设缺金属原子的价电子处于中心力场 $V(r)$ 中，哈密顿量为 ${\hat{H}}_0={\hat{p}}^2/2\mu +V(r)$，守恒量完全集合 $\{{\hat{H}}_0,{\hat{l}}^2,{\hat{l}}_z\}$ 的共同本征态为 $|n,lm⟩$，能级为 $E_{nrl}$：

1. 若沿 $z$ 方向外加强磁场 $B_z$，则价电子的哈密顿算符变为 $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\omega }_L{\hat{l}}_z$，其中 (${\omega }_L=eB/2\mu c$)，试求相应的能量本征态和能量本征值。
2. 求存在强磁场 $B$ 时，原子从 $P$ 态 ($l=1$) 跃迁到 $S$ 态 ($l=0$) 的光谱线频率 (跃迁过程中保持 $n_r$ 不变)。

　　 10.(15 分)某体系的哈密顿算符为 $\hat{H}$，基态为 $|0⟩$，基态能为 $E_0$。定义 $|n⟩={\hat{A}}^n|0⟩(n=1,2,\dots )$，其中算符 $\hat{A}$ 满足对易关系 $[\hat{H},\hat{A}]=\hslash \omega \hat{A},(\omega >0)$。试证明：

1. $|1⟩$ 是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_1$。
2. $|2⟩$ 是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_2$。
3. $|n⟩$ 是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_n$。