贡献者： zhousiyi; addis
我们使用 Ramond-Neveu-Schwarz(RNS)形式来修改玻色弦理论以引入费米子。这个方法在世界面上具有超对称。随后我们会使用具有时空超对称的 Green-Schwarz 形式。当时空维度是 10 的时候，这两个方案是等价的。
首先我们考虑共形规范下的 Polyakov 作用量。
\begin{equation}
S = - \frac{T}{2} \int d^2 \sigma \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu~.
\end{equation}
加入自由费米子 $\psi$ 之后，作用量如下
\begin{equation}
S = - \frac{T}{2} \int d^2\sigma (\partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu - i \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu)~.
\end{equation}
$\rho^\alpha$ 是世界面上的狄拉克矩阵。因为世界面是 1+1 维的，所以 $\rho^\alpha$ 也是 1+1 维的狄拉克矩阵。有两个这样的矩阵
\begin{equation}
\rho^0 = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}~, \quad \rho^1 = \begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
1. Majorana 旋量
$\psi^\mu = \psi^\mu(\sigma,\tau)$ 是两分量 Majorana 旋量。我们把它记作
\begin{equation}
\psi = \begin{pmatrix}
\psi_- \\
\psi_+
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
在洛伦兹变换下，这些场按照矢量的规则变换。我们可以定义 $\bar\psi^\mu$
\begin{equation}
\bar\psi^\mu = (\psi^\dagger)^\mu \rho^0~.
\end{equation}
我们再定义一个 $\rho^3$ 矩阵如下
\begin{equation}
\rho^3 = \rho^0 \rho^1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
我们现在进行如下的定义
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma^{\pm} & = \tau \pm \sigma~, \\
\partial_{\pm} & = \frac{1}{2} (\partial_\tau \pm \partial_\sigma)~, \\
\partial_\tau & = \partial_+ + \partial_-~, \quad \partial_\sigma = \partial_+ - \partial_- ~.
\end{aligned}
\end{equation}
经过计算，我们可以得出
\begin{equation}
\begin{aligned}
S_{\rm F} & = - \frac{T}{2} \int d^2 \sigma (- i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu ) \\
& = - \frac{T}{2} \int d^2\sigma (-2i) (\psi_-\cdot\partial_+\psi_- + \psi_+\cdot \partial_- \psi_+) \\
& = i T\int d^2\sigma (\psi_-\cdot \partial_+ \psi_- +\psi_+\cdot \partial_- \psi_+ )~.
\end{aligned}
\end{equation}
从上面的作用量我们可以看出如下的运动方程
\begin{equation}
\partial_+\psi^\mu_- = \partial_-\psi^\mu_+ = 0~.
\end{equation}
2. 世界面上的超对称变换
我们现在引入超对称变换的参数 $\epsilon$。这个参数也是一个 Majorana 旋量
\begin{equation}
\epsilon = \begin{pmatrix}
\epsilon_- \\
\epsilon_+
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
因为 $\epsilon$ 的组成部分被取成常数，这代表了世界面上的全局坐标。超对称变换有如下形式
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta X^\mu & = \bar \epsilon \psi^\mu ~, \\
\delta \psi^\mu & = - i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \epsilon ~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们的作用量在上面的超对称变换下保持不变。这个变换让自由的玻色子变成费米子，也让自由的费米子变成玻色子。按照分量来写的话，
式 11 的第一个式子可以化简成如下形式
\begin{equation}
\delta X^\mu = \epsilon_- \psi_-^\mu + \epsilon_+ \psi_+^\mu~.
\end{equation}
的第二个式子可以化简成如下形式
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta \psi_-^\mu & = -2\partial_-X^\mu \epsilon_+ ~, \\
\delta \psi_+^\mu & = 2 \partial_+ X^\mu \epsilon_-~.
\end{aligned}
\end{equation}
在超对称变换下，我们的拉式量
式 2 按照下面进行变换
\begin{equation}
\delta L = -T[ \partial_\alpha (\bar\epsilon\psi^\mu\partial^\alpha X_\mu) - \partial_\alpha \bar\epsilon (\rho^\beta\rho^\alpha\psi^\mu\partial_\beta X_\mu) ] ~.
\end{equation}
因为第一项是全导数项，我们忽略不计，我们可得守恒流是
\begin{equation}
J^\mu_\alpha = \frac{1}{2} \rho^\beta \rho_\alpha \psi^\mu \partial_\beta X_\mu ~.
\end{equation}
3. 能量动量张量
考虑世界面坐标的平移变换
\begin{equation}
\sigma^\alpha \rightarrow \sigma^\alpha + \epsilon^\alpha~,
\end{equation}
玻色场 $X^\mu$ 的变换如下
\begin{equation}
X^\mu \rightarrow X^\mu + \epsilon^\alpha \partial_\alpha X^\mu ~,
\end{equation}
费米子场的变换如下
\begin{equation}
\psi^\mu \rightarrow \psi^\mu + \epsilon^\alpha \partial_\alpha \psi^\mu ~.
\end{equation}
首先我们看拉式量里面的费米子部分，我们有
\begin{equation}
L_{\rm F} = - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu ~,
\end{equation}
我们对这一项进行变分
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta L_{\rm F} & = - \frac{i}{2} (\delta \bar\psi^\mu) \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha (\delta \psi_\mu) \\
& = -\frac{i}{2} (\epsilon^\beta\partial_\beta\bar\psi^\mu) \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha (\epsilon^\beta\partial_\beta \psi_\mu) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
经过一番计算，我们得到
\begin{equation}
\delta L_{\rm F} = \partial_\alpha \epsilon^\beta \bigg( - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\beta \psi_\mu \bigg)~.
\end{equation}
我们需要进行对称化
\begin{equation}
\delta L_{\rm F} = \partial_\alpha \epsilon^\beta \bigg( -\frac{i}{4} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\beta \psi_\mu - \frac{i}{4} \bar \psi^\mu \rho^\beta\partial_\alpha \psi_\mu \bigg)~.
\end{equation}
加上玻色部分，我们可以推出如下的能量动量张量
\begin{equation}
T_{\alpha\beta} = \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu + \frac{i}{4} \bar\psi^\mu \rho_\alpha \partial_\beta \psi_\mu + \frac{i}{4} \bar \psi^\mu \rho_\beta\partial_\alpha\psi_\mu - {\rm (Trace)}~.
\end{equation}
减去 Trace 那部分是为了保证能量动量张量保持无迹。这是标度不变性的要求。使用光锥坐标，我们可以把能量动量张量的非零部分计算如下
\begin{equation}
T_{++} = \partial_+X_\mu\partial_+X^\mu + \frac{i}{2} \psi^\mu_+ \partial_+ \psi_{+\mu}~.
\end{equation}
超对称的流是
\begin{equation}
J_+ = \psi^\mu_+ \partial_+ X_\mu~, \quad J_- = \psi^\mu_- \partial_- X_\mu ~,
\end{equation}
费米子的运动方程是
\begin{equation}
\partial_+\psi^\mu_- = \partial_- \psi^\mu_+ = 0~,
\end{equation}
玻色子的运动方程是
\begin{equation}
\partial_+\partial_- X^\mu = 0~,
\end{equation}
我们可以得到能量动量张量的守恒定律
\begin{equation}
\partial_- T_{++} = \partial_+ T_{--} = 0~.
\end{equation}
4. 模式展开和边界条件
我们回到费米子的作用量
\begin{equation}
S_{\rm F} = \int d^2\sigma (\psi_-\partial_+\psi_-+\psi_+\partial_-\psi_+)~.
\end{equation}
以第二项为例，我们对其进行变分，我们得到
\begin{equation}
\delta \int d^2\sigma\psi_+ \partial_- \psi_+ = \int d^2\sigma [\delta\psi_+\partial_-\psi_+ + \psi_+ \partial_- (\delta\psi_+)]~,
\end{equation}
使用分部积分，我们有
\begin{equation}
\int d^2\sigma \psi_+ \partial_- (\delta\psi_+) = \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \psi_+ \delta\psi_+ \bigg|_{\sigma = 0}^{\sigma = \pi} - \int d^2\sigma \partial_-\psi_+\delta\psi_+~,
\end{equation}
对另外一些项也进行类似处理，我们可以得到如下的边界项
\begin{equation}
\delta S_{\rm F} = \int_{-\infty}^{\infty} d\tau \{ (\psi_+\delta \psi_+ - \psi_-\delta \psi_-) \bigg|_{\sigma = \pi} - (\psi_+\delta\psi_+ - \psi_-\delta\psi_-) \bigg|_{\sigma = 0} \}~.
\end{equation}
5. 开弦的边界条件
洛伦兹不变要求边界项必须为零。于是我们可以得到
\begin{equation}
\psi_+ \delta \psi_+ - \psi_- \delta \psi_- = 0~.
\end{equation}
在 $\sigma = 0$ 处我们可以取
\begin{equation}
\psi^+_\mu(0,\tau) = \psi^-_{\mu} (0,\tau) ~.
\end{equation}
更一般地来说 $\psi_+ = \pm \psi_-$ 都可以让边界条件消失。我们一般选择
式 34 作为 $\sigma = 0$ 处的边界条件。这让 $\sigma = \pi$ 处的边界条件 ambiguous。我们可以选取两种不同的边界条件
- $\psi^+_\mu(\pi,\tau) = \psi^-_\mu(\pi,\tau)$ (Ramond)
给出的弦的态是时空费米子
- $\psi^+_\mu(\pi,\tau) = - \psi^-_\mu(\pi,\tau)$ (Neveau-Schwarz) 给出的弦的态是时空玻色子
6. 开弦的模展开
首先我们来考虑 R 部分。模式展开如下
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^\mu_-(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_n d^\mu_n e^{- i n (\tau-\sigma)}~, \\
\psi^\mu_+(\sigma, \tau ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_n d^\mu_n e^{- i n (\tau+\sigma)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
Majorana 条件是费米子是实的。这令我们取
\begin{equation}
d^\mu_{-n} = (d^\mu_n)^\dagger~,
\end{equation}
$n$ 的取值是 $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$.
NS 部分具有不同的模式展开。展开如下
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^\mu_-(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_r b^\mu_r e^{- i r(\tau-\sigma)}~, \\
\psi^\mu_+(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_e b^\mu_r e^{- i r (\tau+\sigma)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里的 $r$ 取值是
\begin{equation}
r = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{5}{2}~, \ldots~
\end{equation}
7. 闭弦的边界条件
闭弦有两种边界条件
- $\psi_{\pm}(\sigma,\tau) = \psi_{\pm}(\sigma+\pi,\tau)$ (周期性边界条件)
- $\psi_{\pm}(\sigma,\tau) = -\psi_{\pm}(\sigma+\pi,\tau)$ (反周期性边界条件)
8. 闭弦的模式展开
上面的两种边界条件可以分别应用到左行波和右行波上面。模式展开是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^\mu_+(\sigma,\tau) = \sum_r \tilde d^\mu_r e^{- 2 i r (\tau+\sigma)}~, \\
\psi^\mu_-(\sigma,\tau) = \sum_r \tilde d^\mu_r e^{- 2 i r (\tau-\sigma)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
如果我们选择 R 部分，那么
\begin{equation}
r = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots~
\end{equation}
从另一方面来讲，如果我们选择 NS 部分，那么
\begin{equation}
r = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \ldots~
\end{equation}
左行的部分和右行的部分是独立的。如果左行和右行的部分能够匹配上，我们就得到了时空玻色子。如果左行和右行的部分不能匹配上，我们就得到了时空费米子。
- 选取 NS 作为左行的部分，选取 NS 作为右行的部分给出时空玻色子。
- 选取 R 作为左行的部分，选取 R 作为右行的部分给出时空玻色子。
- 选取 NS 作为左行的部分，选取 R 作为右行的部分给出时空费米子。
- 选取 R 作为左行的部分，选取 NS 作为右行的部分给出时空费米子。
9. Super-Virasoro 生成元
我们把 Virasoro 算符进行扩展
\begin{equation}
L_m \rightarrow L_m^{(B)} + L_m^{(F)}~.
\end{equation}
我们使用下面的定义
\begin{equation}
L_m = \frac{1}{2} \sum_{-\infty}^{\infty} \alpha_{m-n} \cdot \alpha_n + \frac{1}{4} \sum_r (2r-m) b_{-r} b_{m+r}~.
\end{equation}
此外，我们还有从超对称流出来的第二个生成元。对于 NS，我们有
\begin{equation}
G_r = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} d\sigma e^{ir\sigma} J_+ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \alpha_m \cdot b_{r+m}~.
\end{equation}
对于 R，我们有
\begin{equation}
F_m = \sum_n \alpha_{-n} \cdot d_{m+n}~.
\end{equation}
这里，m 和 n 都是整数。$r=\pm 1/2,\pm 3/2$.
10. 正则量子化
首先我们来回顾玻色弦的正则量子化关系
\begin{equation}
[\alpha^\mu_m,\alpha^\nu_n] = m \delta_{m+n,0} \eta^{\mu\nu}~.
\end{equation}
对于闭弦来说，还有一个与之类似的与 $\bar\alpha$ 有关的关系。对于超弦理论，我们还需要补充费米子的对易关系
\begin{equation}
\{\psi^\mu_A(\sigma,\tau),\psi^\mu_B(\sigma',\tau) \} = \pi \eta^{\mu\nu} \delta_{AB} \delta(\sigma - \sigma')~.
\end{equation}
按照模式来写，我们有如下对易关系
\begin{equation}
\begin{aligned}
\{ b^\mu_r, b^\nu_r\} & = \eta^{\mu\nu} \delta_{r+s,0}~, \\
\{ d^\mu_m, d^\nu_n\} & = \eta^{\mu\nu} \delta_{m+n,0} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
11. Super-Virasoro 代数
NS Sector
对于 NS sector，我们有如下代数
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left[ L_n,L_m \right] &= (n-m) L_{n+m} + \frac{c}{12} (n^3-n) \delta_{n+m,0}~,\\
[L_n,G_r] &= \frac{1}{2} (n-2r) G_{n+r}~, \\
\{ G_r, G_s \} &= 2 L_{r+s} + \frac{c}{12} (4 r^2 - 1) \delta_{r+s,0}~.
\end{aligned}
\end{equation}