拉回映射

贡献者：叶月2_

预备知识　伴随映射

本文处于草稿阶段。

　　设 $f : M \to N$ 是光滑映射，则可以定义切空间之间前推映射：

\begin{matrix} (1) & f_{*} : T_{p} M \to T_{f (p)} N, \end{matrix}

切空间是线性空间，因此可以诱导其对偶空间上的伴随映射（或称对偶映射）。简写该伴随映射为

f^{*}

：

\begin{matrix} (2) & f^{*} \equiv (f_{*})^{*} : T_{f}^{*} (p) N \to T_{p}^{*} M, \end{matrix}

使得其满足伴随映射的基本定义，即对于任意

X \in T_{p} M, η \in T_{f (p)}^{*} N

有：

\begin{matrix} (3) & f^{*} (η) X = f_{*} (X) η . \end{matrix}

一般称如上定义的伴随映射为伴随

f

的拉回（pull-back），以示其把

N

上的余切向量 “拉回” 到

M

上这一特点。

　　既然拉回映射是把余切向量映射为余切向量，自然也可以拉回 $N$ 上的余切向量场。

引理 1　

　　设 $g \in C^{\infty} N, σ$ 是 $N$ 上的光滑余切场，则有

$f^{*} (d g) = d (g \circ f) .$
$f^{*} (g σ) = (g \circ f) f^{*} σ$

　　 proof.

　　设任意 $X \in T_{p} M$ ，由拉回定义得： $f^{*} (d g) X = d g f_{*} (X)$ 。又因为 $f_{*} (X)$ 是 $N$ 上的切向量，则由函数微分及前推的定义得： $d g f_{*} (X) = f_{*} (X) g = X (g \circ f) = d (g \circ f) X$ ，第一条得证；

　　同理可证第二条如下：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} f^{*} (g σ) |_{p} X & = (g σ) |_{f (p)} f_{*} (X) \\ = g |_{f (p)} f^{*} (σ) X \\ = (g \circ f) f^{*} (σ) X \end{aligned}, \end{matrix}

定理 1　

　　伴随光滑映射的拉回映射把光滑余切场映射为光滑余切场。

　　 proof.

　　设 $f : M \to N$ 为光滑映射， $σ$ 为 $N$ 上的光滑余切场， ${d y^{i}}$ 为 $N$ 上的局部余切基¹。则可以将光滑余切场表示为 $σ = \sum_{i} σ_{i} d y^{i}$ ，分量均为光滑函数。由引理 1 得：

\begin{matrix} (5) & f^{*} (σ) = f^{*} (\sum_{i} σ_{i} d y^{i}) = \sum_{i} (σ_{i} \circ f) f^{*} (d y^{i}) = \sum_{i} (σ_{i} \circ f) d (y^{i} \circ f), \end{matrix}

因为光滑映射的复合是光滑的，所以

f^{*} (σ)

是光滑的，得证。

张量场的拉回

　　类比余切向量场，我们可以定义张量场的拉回。如果流形间的映射和张量场都是光滑的，通过对应的拉回映射，我们可以得到另一个光滑张量场。

定义 1　

　　设 $f : M \to N$ 为光滑映射， $σ$ 是 $N$ 上的 $k$ 阶光滑张量场。定义 $f^{*} σ$ 使得：

\begin{matrix} (6) & f^{*} σ (X_{1}, X_{2} . . . X_{k}) = σ |_{f (p)} (f_{*} X_{1}, f_{*} X_{2} . . ., f_{*} X_{k}), \end{matrix}

称

f^{*} σ

为

σ

的拉回。

习题 1　

　　设 $F : M \to N$ 和 $G : N \to P$ 都是光滑映射， $σ, τ$ 分别是 $N$ 上的 $k$ 阶， $l$ 阶光滑张量场， $h \in C^{inf} N$ 。证明下述结论：

拉回映射 $F^{*}$ 是 $R$ 线性及 $C^{\infty} (N)$ 线性的。也就是说，对于任意 $k \in R, h$ 有： $F^{*} (k σ) = k F^{*} (σ), F^{*} (h σ) = h (F^{*} σ)$ 。
复合映射的拉回可以表示为拉回映射的复合。即： $(F \circ G)^{*} = G^{*} \circ F^{*}$ 。
单位映射的拉回还是单位映射。 ${Id}^{*} τ = τ$

习题 2　

　　证明：光滑张量场的拉回还是光滑的。

　　提示：只需要证明其分量光滑即可。

微分形式的拉回

　　作为交错张量，微分形式也是可以被拉回的。

定义 2　

　　设 $f : M \to N$ 是光滑映射， $ω$ 是 $N$ 上的 $k$ 次微分形式，则可以定义微分形式的拉回，使之也是微分形式，满足对于任意 $M$ 上的一组切向量 $(X_{1}, X_{2} . . . X_{k})$ 有：

\begin{matrix} (7) & f^{*} (ω) (X_{1}, X_{2} . . . X_{k}) = ω (f_{*} (X_{1}), f_{*} (X_{2}) . . . f_{*} (X_{k})) . \end{matrix}

　　由于微分形式的外积依然是微分形式，因此也可以被 “拉回”。

定理 2　

　　若 $f : M \to N$ 是光滑的， $ω, η$ 是 $N$ 上的微分形式。那么有：

$f^{*} (ω \land η) = f^{*} (ω) \land f^{*} (η)$ ，即保微分形式的外代数同态。
给定一个 $N$ 上的一个局部余切基 ${d y^{i_{1}}}$ ，定义 $k$ 形式 $ω$ 为 $ω = \sum_{I} ω_{I} d y^{i_{1}} \land d y^{i_{2}} . . . \land d y^{i_{k}}$ ，则有：
$\begin{matrix} (8) & f^{*} (ω) = \sum_{I} (ω_{I} \circ f) d (y^{i_{1}} \circ f) \land . . . d (y^{i_{k}} \circ f) . \end{matrix}$

　　 proof.

　　因为楔积是双线性的，因此我们只需要证明第一条对微分形式的基成立即可。设 $ω$ 是 $k$ 形式，对应的基为 ${ε^{I}}, I = {i_{1}, i_{2} . . . i_{k}}$ ， $η$ 是 $l$ 形式，对应的基为 ${ε^{J}}, J = {j_{1}, j_{2} . . . j_{l}}$ 。简化左侧表达式为：

\begin{matrix} (9) & f^{*} (ε^{I} \land ε^{J}) (X_{1}, X_{2} . . . X_{k + l}) = ε^{I} \land ε^{J} (f_{*} (X_{1}), f_{*} (X_{2}) . . . f_{*} (X_{k + l})) . \end{matrix}

根据张量的外积定义，可简化右侧的表达式为：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} f^{*} (ε^{I}) \land f^{*} (ε^{J}) (X_{1}, X_{2} . . . X_{k + l}) & = \frac{(k + l)!}{k! l!} Alt (f^{*} (ε^{I}) \otimes f^{*} (ε^{J})) (X_{1}, X_{2} . . . X_{k + l}) \\ = \frac{1}{k! l!} sgn σ^{I} sgn σ^{J} f^{*} (ε^{I}) (X_{1}, X_{2} . . . X_{k}) f^{*} (σ^{J}) (X_{k + 1}, X_{K + 2} . . . X_{k + l}) \\ = Alt ε^{I} (f_{*} (X_{1}), f_{*} (X_{2}) . . . f_{*} (X_{k})) Alt ε^{J} (f_{*} (X_{1}), f_{*} (X_{2}) . . . f_{*} (X_{k + l})) \\ = ε^{I} \land ε^{J} (f_{*} (X_{1}), f_{*} (X_{2}) . . . f_{*} (X_{k + l})) . \end{aligned} \end{matrix}

现证第二条。由第一条得：

\begin{matrix} (11) & f^{*} (ω) = \sum_{I} f^{*} (ω_{I} d y^{i_{1}}) \land f^{*} (d y^{i_{2}}) . . . \land f^{*} (d y^{i_{k}}) . \end{matrix}

　　因为 $d y^{i_{k}}$ 是光滑余切场，由引理 1 得： $f^{*} (ω_{I}) d y^{i_{1}} = (ω \circ f) d (y^{i_{1}} \circ f)$ 且 $f^{*} (d y^{i_{k}}) = d (y^{i_{k}} \circ f)$ ，代入上式即可得证。

定理 3　

　　令 $f : M \to N$ 是 n 维微分流形之间的光滑映射。设 ${x_{i}}$ 为 $U \subset M$ 上的局部坐标系， ${y_{i}}$ 是 $V \subset N$ 上的局部坐标系， $u$ 是 $V$ 上的光滑函数。那么在 $U \cap F^{- 1} (V)$ 上有：

\begin{matrix} (12) & f^{*} (u d y^{1} \land \dots \land d y^{n}) = (u \circ f) \det (\frac{\partial f^{j}}{\partial x^{i}}) d x^{1} \land \dots \land d x^{n} . \end{matrix}

　　 proof.

　　由定理 2 得：

\begin{matrix} (13) & f^{*} (u d y^{1} \land \dots \land d y^{n}) = (u \circ f) d f^{1} \land d f^{2} \land . . . \land d f^{n}, \end{matrix}

又因为

d f^{i} = \frac{\partial y^{i}}{\partial x^{j}} d x^{j}

，结合楔积的反对称性可知：

\begin{matrix} (14) & d f^{1} \land d f^{2} \land . . . \land d f^{n} = \det (\frac{\partial f^{j}}{\partial x^{i}}) d x^{1} \land \dots \land d x^{n} . \end{matrix}

代入式 13 得证。

1. ^ $y^{i} : V \subset N \to R$ 是对应坐标卡的坐标函数