旋转的陀螺为什么不会倒（科普）

贡献者： JierPeter

　　不旋转的陀螺，尖端朝下放在桌上无法立住，因为几乎不可能让陀螺完美对称且完美竖直，于是在重力矩作用下就会倾倒。一旦陀螺旋转起来，尽管重力矩依然要拉着陀螺倾倒，但陀螺似乎只是在不停改变旋转轴的方向，一直不倾倒。

　　考虑一个空塑料瓶，称从它的瓶盖到瓶底的轴为其 “长轴”。将塑料瓶扔到空中，使得其长轴有翻转的角速度，你会发现塑料瓶的长轴大致在一个平面内不停翻转，瓶盖的指向变化范围也差不多有 $360^\circ$。但如果扔的同时让塑料瓶本身还绕着长轴旋转，那么塑料瓶的长轴就会在一个双圆锥面内反转，瓶盖变化范围显著小于 $360^\circ$。

　　上述两个现象有一个共同的名字：进动。简单来说，进动就是指，旋转的刚体在旋转轴方向变化的时候会受到一个回转力矩，从而改变其旋转轴变化的方向。我们通过受力分析就能理解进动的成因。

1. 术语准备

　　为了方便接下来的讨论，我需要定义一些概念，这样能大大简化描述并降低理解的难度。

　　首先确定研究对象：一个固定在轻质杆上的均质圆环¹，如图 1 所示。圆环的半径为 $r$，总质量为 $M$；杆的两个端点分别取名为 $A$ 和 $B$，它们到圆环的几何中心的距离相等；称圆环的几何中心为 $O$ 点。设 $A$、$B$ 间的距离为 $2d$。

图 1：陀螺模型示意图。

　　要描述 $AB$ 轴的方向变化，可以用 $A$ 和 $B$ 的相对速度。比如说，如果陀螺在平移，那么两个点的相对速度为 $0$，$AB$ 轴的方向不会改变；但两个点只要有非零的相对速度，那么 $AB$ 轴的方向就一定会改变。为方便计，我们称 $AB$ 轴的方向改变为陀螺的偏转。

　　以点 $O$ 为参考点，定义陀螺受到的力矩。具体来说，如果陀螺在某点 $P$ 处受到力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 作用，那么陀螺受到的力矩就是 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} $，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是从 $O$ 到 $P$ 的位移向量。$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向可以用右手定则确定：伸出手掌，四指指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的方向，调整手掌的方向使得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的方向垂直从手背穿入、手心传出，此时竖起大拇指，拇指所指方向即为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向。

　　当陀螺受到沿着 $AB$ 轴的力矩的时候，并不会因此偏转。如果受到的力矩垂直于 $AB$ 轴，则陀螺会偏转，但 $A$ 相对 $B$ 的加速度却并不是沿着力矩的方向，而是垂直于力矩的方向。举个例子，从你的视角看，如果对点 $A$ 和 $B$ 分别施加一个水平向左和水平向右的等大的力，那么陀螺受到的力矩是水平指向你的，但陀螺因此得到的偏转方向、或者说 $A$ 相对 $B$ 的加速度，是水平向左的。

　　但无论如何，力矩的效果是给 $A$ 提供一个相对 $B$ 的加速度，而我们描述的正是 $A$ 相对 $B$ 的运动状态，因此接下来讨论力矩时只讨论它提供的相对加速度。称 $A$ 相对 $B$ 的速度为陀螺的偏转速度，加速度为偏转加速度。

　　另外请注意，力矩和力一样都是向量，因此可以分解为垂直 $AB$ 轴和沿着 $AB$ 轴方向的分量，其中只有第一个分量影响陀螺的偏转，第二个分量影响的是圆环自转的加速度。

2. 受力分析

　　当圆环本身没有自转的时候，如果有偏转速度，则 $AB$ 轴会一直在一个平面内以恒定的角速度转动，此时偏转速度虽然一直在改变，但没有脱离以 $d$ 为半径的圆周。

　　但如果圆环绕着 $AB$ 轴转起来，此时再有偏转速度，就会出现垂直于偏转速度的偏转加速度。

　　在某一时刻，建立惯性系的三维直角坐标系以方便讨论。以 $O$ 点此刻所在位置为坐标系原点，$OA$ 为 $z$ 轴；取圆环上某一点 $P$，以 $OP$ 为 $x$ 轴；$y$ 轴则垂直 $OAP$ 平面，且整个坐标系符合右手定向，具体如图 2 所示。

图 2：建立的惯性系三维直角坐标系示意图。为了清楚传达，此处使用了三视图来表达各质点的位置关系。俯视图里 $A$、$B$、$O$ 三点重合；主视图中蓝色的 $\otimes$ 表示“垂直纸面向里”的方向，即 $P$ 点速度的方向。

　　令圆环绕着 $AB$ 自转，使得这一瞬间质点 $P$ 的速度方向沿着 $y$ 轴正向，如图 2 所示，将该速度表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix} 0\\v\\0 \end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　现在考虑陀螺有沿着 $y$ 轴正方向的偏转速度，则一小段时间后 $P$ 点的速度会多出来一个 $z$ 向分量，指向 $z$ 轴负方向。这意味着，如果要保持陀螺的偏转速度在 $yz$ 平面内，就需要对 $P$ 点施加一个指向 $z$ 轴负方向的力；反过来，这等同于说，$P$ 点受到了一个指向 $z$ 轴正方向的力²，因此才需要额外给 $P$ 点一个力来平衡它。

习题 1　

　　考虑圆环上其它质点，它们也会因为偏转速度的存在而受到一个指向 $z$ 轴正或负方向的力，哪些点受到的力是正向、哪些是负向？有两个点不会因为偏转速度而受力，是哪两个点？

　　 $P$ 点由于偏转速度所受的力，对整个陀螺产生了偏转力矩，这个力矩的作用是产生了一个沿着 $x$ 轴负方向的偏转加速度。在给定质点质量以及陀螺自转角速度时，该偏转加速度仅和偏转速度相关，偏转加速度的大小正比于偏转速度的大小。

　　考察圆环上所有点不难发现，任何点产生的偏转力矩和偏转加速度都在同一个方向上，因此所有质点提供的偏转加速度的总和就是沿着 $x$ 轴负方向。称所有质点产生的偏转力矩的总和为回转力矩。

3. 陀螺进动

无外力环境下的陀螺进动

　　文章开头提到的 “扔塑料水瓶” 实验，其实是模拟了无外力环境下的陀螺进动。

　　 “偏转加速度大小正比于偏转速度大小、方向垂直于偏转速度”，这个情况和电磁学中静磁场的洛伦兹力很像。带电粒子仅受静磁场的洛伦兹力时，其加速度大小总是正比于速度大小，方向垂直于速度的方向，结果是带电粒子在平面内做圆周运动。陀螺的偏转速度和偏转加速度同理，只不过 $A$、$B$ 两点是在一个球面而非平面上运动，但即便如此，$A$ 点的运动轨迹也因此成了绕着某固定轴轴旋转的一个小圆，其半径小于 $d$；而 $AB$ 轴则绕着该固定轴，画出一个双圆锥的形状。

　　这种 $AB$ 轴绕着固定轴画出双圆锥形状而非一个原盘面的现象，就叫做进动（precession）。

地球上的陀螺不倒之谜

　　我们考虑一个很有视觉冲击力的情况：陀螺的 $B$ 点被绳子吊起来，让陀螺高速自转，结果陀螺并不会倒下，而是绕着绳子所在的轴旋转，如图 3 所示。

图 3：陀螺进动示意图。图中在地球表面，重力方向竖直向下。陀螺的 $B$ 点吊在绳子上，即 $B$ 点位置固定，同时陀螺的圆环部分绕 $AB$ 轴自转，自转方向如图中红色弯曲箭头表示。陀螺有偏转速度，表现为 $A$ 点的速度，如图中橙色直箭头所示。

　　陀螺如图中那样偏转时，回转力矩倾向于将陀螺抬起，而重力矩倾向于将陀螺压下，两个力矩平衡，故陀螺不会倒下。

1. ^ 这只是简化模型，请不要纠结杆为什么没有质量以及圆环怎么固定在杆上的。把这个简化模型研究清楚以后，结论可以套在真实的复杂模型上。
2. ^ 类比加速的电梯模型。当你身处一个太空中加速上升的电梯时，为了保持和电梯相对静止，你需要受到一个指向电梯上方的力来和电梯同步加速；反过来，你也可以认为在电梯参考系看来，你受到了一个指向电梯下方的力的作用，需要再受到一个指向电梯上方的力来平衡。