泊松分布

贡献者： addis

预备知识　自然对数底（简明微积分），随机变量、概率密度函数

　　在一段时间内，若一个事件在一段时间内的任意时刻都有均等的几率发生，且发生次数不限，那么在这段时间内发生 $k$ 次的概率为

\begin{matrix} (1) & f (λ, k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!} (k = 0, 1, 2, \dots) . \end{matrix}

其中

λ

是一个常参数，该分布的平均值和方差都是

λ

。具体而言，若在一段极小时间

Δ t

内发生的概率为

Δ P

，那么令常数

\begin{matrix} (2) & α = lim_{Δ t \to 0} Δ P / Δ t . \end{matrix}

若考察的时长为

T

，那么

\begin{matrix} (3) & λ = α T . \end{matrix}

1. 平均值和方差的推导

未完成：补充完整

证明方差需要使用

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{2} λ^{k}}{k!} & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(k + 1) λ^{k + 1}}{k!} = λ \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(k + 1) λ^{k}}{k!} \\ = λ \frac{d}{d λ} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k + 1}}{k!} = λ \frac{d}{d λ} (λ e^{λ}) = λ (λ + 1) e^{λ} . \end{aligned} \end{matrix}

　　若 $d P / d t = α$ 。令 $λ = α T$ ，把 $[0, T]$ 划分成许多小时间段 $Δ t$ ，那么在时刻 $t$ 也就是第 $t / Δ t + 1$ 时间段发生第一次的概率为

\begin{matrix} (5) & Δ P = lim_{Δ t \to 0} (1 - α Δ t)^{t / Δ t} α Δ t = {[lim_{Δ t \to 0} (1 - α Δ t)^{1 / (- α Δ t)}]}^{- α t} α Δ t = e^{- α t} α Δ t . \end{matrix}

所以第一次出现的时间分布为

\begin{matrix} (6) & f (t) = α e^{- α t}, \end{matrix}

在时间

[0, T]

内不发生的概率为

\begin{matrix} (7) & P_{0} (T) = \int_{T}^{\infty} f (t) d t = e^{- λ}, \end{matrix}

例如一半可能性不发生的时间为

T_{1 / 2} = \ln 2 / α

。

　　在时间 $[0, T]$ 内发生一次的概率为

\begin{matrix} (8) & P_{1} (T) = \int_{0}^{T} f (t^{'}) P_{0} (T - t^{'}) d t^{'} = λ e^{- λ} . \end{matrix}

即假设事件在

t^{'}

时刻发生一次，在接下来的长度为

T - t^{'}

的时间段内不发生。

　　在时间 $[0, T]$ 内发生两次的概率为

\begin{matrix} (9) & P_{2} (T) = \int_{0}^{T} f (t^{'}) P_{1} (T - t^{'}) d t^{'} = \frac{λ^{2}}{2} e^{- λ} . \end{matrix}

同理递归可得

\begin{matrix} (10) & P_{k} (T) = \int_{0}^{T} f (t^{'}) P_{k - 1} (T - t^{'}) d t^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & P_{k} (T) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} . \end{matrix}

证毕。