北京大学 2017 年 考研 量子力学

                     

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1. 一

　　 1.宽度为 $2L$ 的无限深势阱，范围为 $-L<x<L$，求能量本征态和相应的本征值。

　　 2.已知 $t=0$ 时处于基态，势阱宽度突然变为 $4L$，范围为 $-2L<x<2L$，求随时间变化的波函数表达式 $\phi (t)$，求处于变化后体系本征态能量的概率，求体系的能量平均值 $\overline{E(t)}$。

2. 二

　　 一个二维谐振子，哈密顿量为 $$\hat{H}=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_x{x}^2+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_y{y}^2$$

　　 1.若 $\frac{{\omega }_x}{{\omega }_y}=\frac{3}{4}$，求第一个和第二个简并能级。

　　 2.若 ${\omega }_x={\omega }_y$，有两个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度。

3. 三

　　 1.在 ${\sigma }_z$ 表象下，${\sigma }_x$、${\sigma }_y$、${\sigma }_z$ 的矩阵表示及其归一化本征态、本征值。

　　 2.在 ${\sigma }_x$ 表象下，${\sigma }_y$ 和 ${\sigma }_z$ 的归一化本征态。

4. 四

　　 体系哈密顿量为 $\hat{H}=\hslash (|1⟩⟨2|+|2⟩⟨1|)$ 其中 $|1⟩$ 和 $|2⟩$ 为体系两个正交归一的本征态。在 $t=0$ 时，算符 $\hat{O}=3|1⟩⟨1|-|2⟩⟨2|$ 的平均值为 -1，求体系初始态及 $t>0$ 时体系最初转化为 $|1⟩$ 的时间。

5. 五

　　 考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体

　　 1.体系能量基态本征函数为 $\psi =N{e}^{-\frac{r}{a}}$，求归一化系数 $N$ 和不确定度 $(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}{)}^2$ 和 $(\mathrm{\Delta }r{)}^2$。

　　 2.用微扰法求出这种改动对氢原子能量基态能量的一级修正。

6. 六

　　 一维粒子由右边入射，收到的势能为 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& x<0\\ -\frac{g{h}^2}{2m}\delta (x-a)& x>0\end{array}$$ 1.若能量 $E>0$，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现。

　　 2.求存在束缚态得条件。