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1. (20 分) 质量为的粒子, 在位势
$$V(x) = a \delta (x) + V'(x), (a < 0)~$$
$$V'(x) = \begin{cases} 0 & x < 0, \\\\ V_0 & x > 0,\end{cases}\quad (V_0 > 0)~$$
中运动,
(a) 试给出在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数。
(b) 给出粒子处于 $ x > 0 $ 区域的几率。它是大于 1/2, 还是小于 1/2, 为什么？
2. (10 分) 态 $|\alpha\rangle$ 和 $|\beta\rangle$ 是复原子的定态 (电子和质子的相互作用为库仑作用, 并计及电子的自旋-轨道耦合项)
(a)] 给出 $|\alpha\rangle$ 和 $|\beta\rangle$ 态的守恒量完全集。
(b)] 若 $\langle \beta | f({r}) \hat{\mathbf{s}} \cdot \vec{r} | \alpha \rangle \neq 0$, 则 $|\alpha\rangle$ 和 $|\beta\rangle$ 态的哪些量子数可能是不同的, 为什么？
(注: $f({r})$ 是 $r$ 的径向函数, $\hat{s},\vec{r}$ 为电子的自旋和坐标矢量)
3. (16 分) 三个自旋为 1/2 的粒子，在 $(s_{1z}, s_{2z})$ 表象中的表示为 $\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix}$, 其中，$\left|\alpha_i\right|^2$ 是第 $i$ 粒子自旋向上的几率，$\left|\beta_i\right|^2$ 是第 $i$ 粒子自旋向下的几率。
(a) 求哈密顿量
$$\hat{H} = V_0 (\sigma_{1x} \sigma_{2y} - \sigma_{1y} \sigma_{2z})~$$
的本征值和本征函数 ( $V_0$ 为一常数)
(b) 在 $t=0$ 时，体系处于态 $\alpha_1 = \beta_2 = 1, \alpha_2 = \beta_1 = 0$，求此时刻发现体系在态 $\alpha_1 = \beta_2 = 0, \alpha_2 = \beta_1 = 1$ 的几率。
(注：$\sigma_{1x}, \sigma_{1y}$ 为第一个粒子泡利算符的 $x,y$ 分量)
4.(10 分)考虑一维谐振子，其哈密顿量
$$\hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right)~$$
而 $[a, a] = [a^\dagger, a^\dagger] = 0, [a, a^\dagger] = 1$。
(a)若 $|0\rangle$ 是归一化的基态矢（$(a|0\rangle = 0)$），则第 $n$ 个激发态为
$$|n\rangle = N_n (a^\dagger)^n |0\rangle~$$
求归一化因子 $N_n$；
(b)若外加一微扰，$\hat{H}' = g a^\dagger a^\dagger a a$，试求第 $n$ 个激发态的能量本征值（准至 $g$ 一级）。
5.(22 分) 考虑体系 $\hat{H} = T + V(x)$,
$$ V(x) = \begin{cases} A x & x > 0 \\\\ \infty & x < 0 \end{cases} \quad (A > 0)~$$
(a)利用变分法，取试探函数为
$$\Psi_1(x) = \left( \frac{2}{b\sqrt{\pi}} \right)^{1/2} e^{-\frac{x^2}{2b^2}}~$$
求基态能量上限；
(b)我们知道试探波函数为
$$\Psi_2(x) = \left( \frac{1}{b\sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \frac{2x}{b} e^{-\frac{x^2}{2b^2}} ~$$
则基态能量上限为 $E_2 = \left(\frac{81}{\pi m}\right)^{1/3} \left(\frac{A^2 \hbar^2}{m} \right)^{1/3}$, 对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？