最优化

                     

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   优化(Optimization,或称最优化),主要研究模型与算法。优化问题有三个最重要的因素:目标函数、优化变量、优化约束。注意这里的最优化只是名义上的,指的是当前给定约束下和目标下的最优,而非无条件的最好。

定义 1 优化问题

   优化问题一般描述如下:

\begin{equation} p^*=\min _x f(x),\text{ s.t. } x\in \chi ~. \end{equation}
其中:

  • $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^\text{T}\in\mathbb{R}^n$ 是决策变量
  • $f(x):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ 为目标函数
  • $\chi\subseteq\mathbb{R}^n$ 是约束可行域
  • $p^*$ 是最优值

   若 $\chi=\mathbb{R}^n$,则称优化问题为无约束问题,否则称为有约束问题。有约束问题的可行域一般记作 $\chi=\{x\in \mathbb{R}^n|c_i(x)\le 0,i=1,\dots,m;c_i(x)=0,i=m+1,\dots,m+l\}$。

   由于最小目标并不一定存在,但下确界一定存在,故一般将 $\min f(x)$ 修改为 $\inf f(x)$。

1. 分类

   根据约束 $c$ 和目标函数 $f$ 的性质分类:

   目标建模方法:范数、正则化、最大似然、松弛等

2. 求解方法

   一般无约束优化问题的求解方法通常可以分为:

   最小二乘问题因为非常常见,因而研究了与其相应的特殊的求解方法。可以将最小二乘问题分为小残量问题和大残量问题。小残量问题一般采用高斯-牛顿(GN)法或 LM 方法,其中:高斯-牛顿法是线搜索方法,LM 法是信赖域法。大残量问题用拟牛顿法来实现。

                     

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