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优化(Optimization,或称最优化),主要研究模型与算法。优化问题有三个最重要的因素:目标函数、优化变量、优化约束。注意这里的最优化只是名义上的,指的是当前给定约束下和目标下的最优,而非无条件的最好。
若 $\chi=\mathbb{R}^n$,则称优化问题为无约束问题,否则称为有约束问题。有约束问题的可行域一般记作 $\chi=\{x\in \mathbb{R}^n|c_i(x)\le 0,i=1,\dots,m;c_i(x)=0,i=m+1,\dots,m+l\}$。
由于最小目标并不一定存在,但下确界一定存在,故一般将 $\min f(x)$ 修改为 $\inf f(x)$。
根据约束 $c$ 和目标函数 $f$ 的性质分类:
目标建模方法:范数、正则化、最大似然、松弛等
一般无约束优化问题的求解方法通常可以分为:
最小二乘问题因为非常常见,因而研究了与其相应的特殊的求解方法。可以将最小二乘问题分为小残量问题和大残量问题。小残量问题一般采用高斯-牛顿(GN)法或 LM 方法,其中:高斯-牛顿法是线搜索方法,LM 法是信赖域法。大残量问题用拟牛顿法来实现。