欧几里得几何（综述）

                     

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图 1：拉斐尔的《雅典学派》中的细节，展示了一位希腊数学家——可能代表欧几里得或阿基米德——正在使用圆规绘制几何构图。

　　 欧几里得几何是归功于古希腊数学家欧几里得的数学体系，他在其几何学教材《几何原本》中对其进行了描述。欧几里得的方法是假设一小组直观上令人信服的公设（公理），并从这些公理中推导出许多其他命题（定理）。尽管欧几里得的许多结果早已被提出，[1] 但他是第一个将这些命题组织成一个逻辑系统的人，其中每个结果都是从公理和先前证明的定理推导出来的。[2]

　　 《几何原本》以平面几何开始，至今仍在中学（高中）教授，作为第一个公理化系统和数学证明的初步例子。它接着讲解了三维的立体几何。《几何原本》中的许多内容阐述了现在被称为代数和数论的结果，用几何语言来表达。[1]

　　 在超过两千年的时间里，“欧几里得” 这个形容词是不必要的，因为欧几里得的公理似乎是如此直观明显（平行公设可能是唯一例外），以至于从这些公理中推导出的定理被认为是绝对正确的，因此没有其他类型的几何被认为是可能的。然而，今天许多自洽的非欧几里得几何已被发现，最早的几何形式是在 19 世纪初发现的。爱因斯坦的广义相对论理论的一个含义是，物理空间本身并非欧几里得空间，欧几里得空间仅在短距离内（相对于引力场的强度）对其进行良好近似。[3]

　　 超过两千年来，“欧几里得” 这个形容词并不必要，因为欧几里得的公理看起来非常直观明显（平行公设可能是个例外），从这些公理推导出来的定理被认为是绝对正确的，因此没有其他形式的几何被认为是可能的。然而，今天我们知道许多其他自洽的非欧几里得几何，最早的发现是在 19 世纪初。阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论理论的一个含义是，物理空间本身并非欧几里得的，欧几里得空间只有在短距离（相对于引力场的强度）内才是一个很好的近似。

　　 欧几里得几何是合成几何的一个例子，因为它从描述几何对象（如点和线）的基本属性的公理出发，逻辑地推导出关于这些对象的命题。这与近两千年后由勒内·笛卡尔引入的解析几何形成对比，后者通过坐标使用代数公式来表达几何属性。

1. 《几何原本》

　　 《几何原本》主要是对早期几何知识的系统化。它在比早期的几何处理方法中取得了显著的进步，这一点很快被认可，因此几乎没有人再对保留早期的几何作品感兴趣，而这些作品如今几乎都已遗失。

　　 《几何原本》共包含 13 卷：

　　 第 I 至 IV 卷和第 VI 卷讨论平面几何。许多关于平面图形的定理被证明，例如 “任意三角形中，任意两个角之和小于两个直角。”（第 I 卷命题 17）以及 “在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。”（第 I 卷命题 47）

　　 第 V 卷和第 VII 至 X 卷涉及数论，数被几何地处理，作为线段的长度或平面区域的面积。介绍了素数、有理数和无理数等概念。并且证明了素数的个数是无限的。

　　 第 XI 至 XIII 卷涉及立体几何。一个典型的定理是圆锥体和底面和高度相同的圆柱体的体积比为 1:3。并且构造了柏拉图立体。

公理

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图 2：平行公设（公设 5）：如果两条直线与第三条直线相交，并且在一侧的内角之和小于两个直角，那么这两条直线如果延伸足够远，必定会在该侧相交。

　　 欧几里得几何是一种公理化系统，其中所有定理（“真命题”）都从少数简单的公理推导出来。在非欧几里得几何出现之前，这些公理被认为在物理世界中显而易见，因此所有的定理也都被认为是同样真实的。然而，欧几里得从假设到结论的推理依然独立于物理现实有效。[4]

　　 在《几何原本》第一卷的开头，欧几里得给出了五个平面几何公设（公理），用构造的方式来表述（根据托马斯·希斯的翻译）：[5]

　　 假设如下：

  1. 从任意一点到任意一点画一条直线。
  2. 将一条有限的直线继续延伸成一条直线。
  3. 以任意中心和任意距离（半径）画一个圆。
  4. 所有的直角都相等。
  5. [平行公设]：如果一条直线与两条直线相交，并且在同一侧形成的内角小于两个直角，那么这两条直线如果无限延伸，必定会在角小于两个直角的那一侧相交。

　　 尽管欧几里得明确地只主张构造物体的存在，但在他的推理中，他也隐含地假设这些物体是唯一的。

　　 《几何原本》还包括以下五个 “共通命题”：

  1. 与同一事物相等的事物也彼此相等（欧几里得关系的传递性）。
  2. 如果相等的东西相加，那么整体也相等（相等加法公理）。
  3. 如果相等的东西相减，那么差也相等（相等减法公理）。
  4. 与彼此重合的事物相等（反身性公理）。
  5. 整体大于部分。

　　 现代学者一致认为，欧几里得的公设并未提供欧几里得为其论述所要求的完整逻辑基础。[6] 现代的研究使用了更广泛和完整的公理集合。

平行公设

　　 对古代人来说，平行公设似乎不像其他公设那样显而易见。古人力图建立一个绝对确定的命题体系，而平行线公设似乎需要从更简单的命题中证明出来。现在我们知道，这种证明是不可能的，因为可以构造出一致的几何系统（遵循其他公理），其中平行公设为真，也可以构造出平行公设为假的系统。[7] 欧几里得本人似乎认为平行公设与其他公设在性质上有所不同，这一点可以从《几何原本》的组织方式中看出：他前 28 个命题是那些可以在没有平行公设的情况下证明的。

　　 许多可以与平行公设逻辑等价的替代公理可以被提出（在其他公理的背景下）。例如，普莱费尔公理指出：

　　 在平面上，经过一个不在给定直线上的点，最多只能画一条与给定直线永不相交的直线。 “最多” 这一条件是必要的，因为可以从其余公理中证明，至少存在一条平行线。

证明方法

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图 3：给定一条线段，可以构造一个包含该线段作为其中一边的等边三角形：通过在点 Α 和 Β 上分别以 Δ 和 Ε 为圆心画圆，并取两个圆的交点之一作为三角形的第三个顶点，从而构造出一个等边三角形 ΑΒΓ。

　　 欧几里得几何是构造性的。公设 1、2、3 和 5 断言了某些几何图形的存在性和唯一性，这些断言具有构造性：也就是说，我们不仅被告知某些事物存在，而且还给出了用圆规和无标尺直尺来构造它们的方法。在这一意义上，欧几里得几何比许多现代公理化系统（如集合论）更加具体，因为后者通常仅仅断言对象的存在，而没有说明如何构造它们，甚至有时断言某些无法在该理论内构造的对象的存在。严格来说，纸上的直线是形式系统中定义的对象的模型，而不是这些对象的实例。例如，欧几里得的直线没有宽度，但任何实际绘制的直线都有宽度。尽管几乎所有现代数学家认为非构造性证明与构造性证明一样有效，但它们通常被认为不如构造性证明优雅、直观或在实践中有用。欧几里得的构造性证明常常取代了错误的非构造性证明，例如一些假设所有数都是有理数的毕达哥拉斯证明，通常需要像 “找出…的最大公约数” 这样的语句。

　　 欧几里得常常使用反证法。

2. 符号和术语

点和图形的命名

　　 点通常使用字母表的大写字母来命名。其他图形，如直线、三角形或圆，通常通过列出足够数量的点来命名，以便从相关图形中明确区分它们。例如，三角形 ABC 通常指的是一个顶点分别位于点 A、B 和 C 的三角形。

互补角和补角

　　 角度和为直角的角叫做互补角。互补角形成于当一条射线与原有两条射线共享同一个顶点，并且指向位于两条原射线之间的方向时。两条原射线之间的射线数量是无限的。

　　 角度和为平角的角叫做补角。补角形成于当一条射线与原有两条射线共享同一个顶点，并且指向位于两条原射线之间的方向时，这两条原射线形成一个平角（180 度角）。两条原射线之间的射线数量也是无限的。

3. 欧几里得符号的现代版本

　　 在现代术语中，角度通常以度数或弧度来衡量。

　　 现代的教科书通常定义了不同的图形，称为直线（无限长）、射线（半无限长）和线段（有限长度）。欧几里得并不像现代那样将射线视为一个在一个方向上延伸至无限的对象，他通常会使用类似 “如果直线延长到足够的长度” 这样的表达方式，尽管他偶尔也提到 “无限直线”。对于欧几里得来说，“直线” 可以是直的，也可以是曲的，必要时他会使用更具体的术语 “直线”。

4. 一些重要或著名的结果

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图 4：驴桥定理（Pons Asinorum）指出，在一个等腰三角形中，角 α = 角 β 且角 γ = 角 δ。
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图 5：“三角形内角和定理指出，任何三角形的三个角的和，无论是角α、β还是γ，总是等于 180 度。”
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图 6：“勾股定理指出，直角三角形两条直角边（a 和 b）上方的两个正方形的面积之和等于斜边（c）上方正方形的面积。”
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图 7：泰勒斯定理指出，如果 AC 是直径，那么角 B 是直角。

驴桥定理

　　 驴桥定理（Pons asinorum）指出，在等腰三角形中，底角相等，并且如果相等的直线延长，底下的角也相等。[12] 这个名字可能来源于它在《几何原本》中经常作为检验读者智慧的第一个真正考验，以及作为通向后面更难命题的桥梁。也有可能因为这个几何图形像一座陡峭的桥，只有脚步稳健的驴子才能通过，故得此名。[13]

三角形的全等

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图 8：三角形的全等可以通过指定两边及其夹角（SAS）、两角及其夹边（ASA）或两角及其对应的邻边（AAS）来确定。然而，通过指定两边及一个邻角（SSA）可能会产生两个不同的三角形，除非所指定的角是直角。

　　 如果三角形的三边相等（SSS）、两边及其夹角相等（SAS），或两角及其一边相等（ASA），则这两个三角形全等（《几何原本》第一卷，第 4、8 和 26 命题）。三个角相等的三角形（AAA）是相似的，但不一定全等。此外，两边相等且夹角相等的三角形不一定相等或全等。

三角形内角和

　　 三角形的三个内角的和等于一个平角（180 度）。[14] 这使得等边三角形的三个内角均为 60 度。此外，这也使得每个三角形至少有两个锐角，并且最多有一个钝角或直角。

勾股定理

　　 著名的勾股定理（《几何原本》第一卷，第 47 命题）指出，在任何直角三角形中，以斜边为边的正方形的面积等于以两条直角边为边的两个正方形面积之和。

泰勒斯定理

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图 9：全等的一个例子。左边的两个图形是全等的，而第三个图形与它们相似。最后一个图形既不全等也不相似。全等变换会改变一些属性，如位置和方向，但保持其他属性不变，比如距离和角度。这些不变的属性被称为不变量，研究这些不变量是几何学的本质。

　　 泰勒斯定理，得名于米利都的泰勒斯，指出，如果 A、B、C 是圆上的三点，且直线 AC 是圆的直径，则角 ABC 是直角。坎托尔假设泰勒斯是通过欧几里得《几何原本》第一卷第 32 命题，以欧几里得《几何原本》第三卷第 31 命题的方式来证明他的定理的。[15][16]

面积和体积的缩放

　　 在现代术语中，平面图形的面积与其任意线性尺寸的平方成正比，A∝L2 固体的体积与其线性尺寸的立方成正比，V∝L3 欧几里得在各种特殊情况下证明了这些结果，如圆的面积[17]和平行六面体的体积[18]。欧几里得确定了一些比例常数，但并非全部。例如，证明球体体积为外接圆柱体体积的 2/3 的是他的继任者阿基米德[19]。

5. 度量和算术体系

　　 欧几里得几何学有两种基本的度量类型：角度和距离。角度尺度是绝对的，欧几里得使用直角作为基本单位，因此，例如，45 度角被称为直角的一半。距离尺度是相对的；我们可以任意选择一个具有一定非零长度的线段作为单位，其他的距离则相对于它来表示。距离的加法通过一个构造表示，其中一个线段被复制到另一个线段的末端，以延长其长度，减法也是类似的方式进行。

　　 面积和体积的度量来源于距离。例如，一个宽度为 3，长度为 4 的矩形，其面积是它们的乘积，12。由于这种几何学上的乘法解释仅限于三维，因此没有直接的方式来解释四个或更多数字的乘积，欧几里得避免了这样的乘积，尽管它们在《几何原本》第九卷第 20 命题的证明中有暗示。

　　 欧几里得称一对线段或一对平面或立体图形为 “相等”（ἴσος），如果它们的长度、面积或体积分别相等，角度也是类似的定义。更强的术语 “全等” 指的是一个图形与另一个图形大小和形状完全相同的概念。或者说，如果一个图形可以移动到另一个图形上并完全匹配，那么这两个图形是全等的（允许翻转）。因此，例如，一个 2x6 的矩形和一个 3x4 的矩形是相等的，但不是全等的，而字母 R 与其镜像是全等的。除大小不同外，其他相似的图形称为相似图形。相似形状中对应的角度相等，且对应的边按比例相等。

6. 在工程学中

设计与分析

动力学

计算机辅助设计系统（CAD 系统）

电路设计

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图 15：3D CAD 模型

　　 PCB 布局：印刷电路板（PCB）设计利用欧几里得几何来有效地布置和连接组件，确保功能性同时优化空间。电子组件在 PCB 上的高效布局对于最小化信号干扰和优化电路性能至关重要。

电磁场和流体流动场

控制

7. 其他一般应用

　　 由于欧几里得几何在数学中的基础地位，在这里列举超过一部分代表性应用是不切实际的。

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图 20：测量员使用水平仪/球体堆积适用于一堆橙子。/抛物面镜将平行的光线聚焦到一点。

　　 正如词源所示，几何学最早的兴趣之一，也是目前最常见的应用之一，就是测量。[20] 此外，它还被应用于经典力学以及认知和计算视觉感知对象的方法。某些来自欧几里得几何的实际结果（例如 3-4-5 三角形的直角性质）在被正式证明之前就已经被使用。[21] 欧几里得几何中的基本度量类型是距离和角度，这两者都可以由测量员直接测量。从历史上看，距离通常是通过链条来测量的，例如甘特链，而角度则是使用刻度圆和后来的经纬仪来测量的。

　　 欧几里得立体几何的一个应用是确定堆积排列，例如寻找 n 维空间中球体最有效堆积的问题。这个问题在错误检测和修正中有应用。

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图 21：几何学在艺术和建筑中得到了应用。
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图 22：水塔由一个圆锥、一个圆柱和一个半球组成。其体积可以通过立体几何来计算。
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图 23：几何学可以用于设计折纸。

　　 几何学在建筑中得到了广泛应用。

　　 几何学可以用于设计折纸。一些经典的几何构造问题使用圆规和直尺无法解决，但可以通过折纸来解决。[22]

8. 后期历史

阿基米德与阿波罗尼乌斯

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图 24：一个球体的体积和表面积是其外接圆柱的 2/3。根据阿基米德的要求，一个球体和圆柱被放置在阿基米德的墓碑上。

　　 阿基米德（约公元前 287 年－约公元前 212 年），一位有着丰富历史轶事的人物，与欧几里得一起被铭记为古代最伟大的数学家之一。虽然他的工作基础是由欧几里得奠定的，但与欧几里得不同，阿基米德的工作被认为完全是原创的。[23] 他证明了各种二维和三维图形的体积和面积公式，并阐述了阿基米德有限数的性质。

　　 伯加的阿波罗尼乌斯（约公元前 240 年－约公元前 190 年）主要以对圆锥曲线的研究而闻名。

17 世纪：笛卡尔

　　 勒内·笛卡尔（1596–1650）发展了解析几何，这是一种形式化几何的替代方法，重点是将几何转化为代数。[24]

　　 在这种方法中，平面上的一个点由其笛卡尔坐标（x, y）表示，一条直线由其方程表示，依此类推。

　　 在欧几里得的原始方法中，勾股定理是从欧几里得的公理中推导出来的。而在笛卡尔的方法中，公理是代数的公理，表示勾股定理的方程则是欧几里得公理中某一术语的定义，而这些公理现在被认为是定理。

　　 该方程 |PQ|=(px−qx)2+(py−qy)2  定义了两点 P = (px, py) 和 Q = (qx, qy) 之间的距离，这被称为欧几里得度量，其他度量则定义了非欧几里得几何。

　　 在解析几何中，经典几何的限制为圆规和直尺构造意味着限制在一阶和二阶方程上，例如 y = 2x + 1（一条直线），或 x² + y² = 7（一个圆）。

　　 同样在 17 世纪，吉拉尔·德萨尔居（Girard Desargues）受透视理论的启发，引入了无限远理想点、理想线和理想平面的概念。这个结果可以看作是一种广义几何——投影几何，但它也可以用于在普通欧几里得几何中进行证明，从而减少了特殊情况的数量。[25]

18 世纪

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图 25：平方圆：这个正方形和这个圆的面积相等。1882 年，证明了这个图形不能通过理想化的圆规和直尺在有限步数内构造出来。

　　 18 世纪的几何学家们一直在努力定义欧几里得体系的边界。许多人试图从前四个公设中证明第五个公设，但都徒劳无功。到 1763 年，至少已经出版了 28 种不同的证明方法，但所有的都被证明是错误的。[26]

　　 在这一时期之前，几何学家们还试图确定在欧几里得几何中可以完成哪些构造。例如，使用圆规和直尺三等分角度的问题是自然出现在该理论中的，因为公理涉及到可以通过这些工具进行的构造操作。然而，经过几个世纪的努力，仍未找到这个问题的解决方案，直到 1837 年皮埃尔·旺泽尔（Pierre Wantzel）发表了一篇证明，证明了这种构造是不可能的。其他被证明不可能完成的构造还包括倍立方和方圆问题。在倍立方的情况下，构造的不可能性源于圆规和直尺方法涉及的方程，其阶数是二的整数次方[27]，而倍立方需要解一个三次方程。

　　 欧拉讨论了欧几里得几何的一个推广，称为仿射几何，它保留了第五公设不变，同时通过削弱第三和第四公设的方式，消除了角度的概念（因此直角三角形变得没有意义）和线段长度相等的概念（因此圆的概念变得没有意义），同时保留了平行性作为线条之间的一种等价关系，以及平行线段长度相等的概念（因此线段仍然具有中点）。

19 世纪

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图 26：二维空间中椭圆几何、欧几里得几何和双曲几何的比较

　　 19 世纪初，卡诺（Carnot）和莫比乌斯（Möbius）系统地发展了符号角度和线段的使用方法，作为简化和统一结果的一种方式。[28]

　　 高维度

　　 在 19 世纪 40 年代，威廉·罗文·哈密顿（William Rowan Hamilton）发展了四元数，约翰·T·格雷夫斯（John T. Graves）和阿瑟·凯利（Arthur Cayley）则发展了八元数。这些是标准代数，扩展了复数。后来，人们理解到四元数也是一个具有四个实数笛卡尔坐标的欧几里得几何系统。[29]凯利使用四元数研究四维欧几里得空间中的旋转。[30]

　　 在 19 世纪中叶，路德维希·施莱夫利（Ludwig Schläfli）发展了欧几里得空间的普遍概念，将欧几里得几何扩展到更高维度。他定义了多面体群，后来被称为多胞体（polytopes），它们是多边形和多面体的高维类比。他发展了它们的理论，并发现了所有的正多胞体，即正多边形和柏拉图立体的 n 维类比。他发现，在四维空间中有六个正凸多胞体，而在所有更高维度中只有三个。

　　 正凸 4-多胞体 施莱夫利在相对默默无闻的情况下完成了这项工作，直到 1901 年才由他人出版并完全披露。直到 1948 年，H.S.M.考克斯特（H.S.M. Coxeter）重新发现并详细记录了这一成果，它才开始产生重要影响。

　　 1878 年，威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）引入了现在被称为几何代数的理论，统一了哈密顿的四元数与赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）的代数，并揭示了这些系统的几何性质，特别是在四维空间中的应用。几何代数的运算能够使得几何对象进行镜像、旋转、平移和映射，将其从一个位置转换到新的位置。三维球面上的克利福德环面是两个圆的笛卡尔积最简单和最对称的平面嵌入（就像圆柱面是 “平面” 的一样）。

　　 非欧几何

　　 本世纪几何学中最具影响力的发展发生在 1830 年左右，当时贾诺什·博尔亚伊（János Bolyai）和尼古拉·伊凡诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）分别发表了关于非欧几何的研究，在这种几何中平行公设不再成立。[31] 由于非欧几何与欧几何相对一致且可证明，因此平行公设不能从其他公设推导出来。

　　 在 19 世纪，人们还意识到欧几里得的十条公设和常见概念不足以证明《几何原本》中陈述的所有定理。例如，欧几里得隐含地假设任何一条直线至少包含两个点，但这一假设无法从其他公设推导出来，因此必须作为一个公设本身。《几何原本》中第一个几何证明（如上图所示）是任何线段都是三角形的一部分；欧几里得通过常规方法构造它，即在两个端点画圆，并将它们的交点作为第三个顶点。然而，他的公设并没有保证圆会实际相交，因为它们并未声明连续性的几何性质，在笛卡尔坐标系中，这等同于实数的完备性属性。从 1882 年开始，由莫里茨·帕施（Moritz Pasch）提出了许多改进的几何公设体系，其中最著名的包括希尔伯特（Hilbert）、乔治·伯尔可夫（George Birkhoff）和塔尔斯基（Tarski）的体系。[32][33][34]

20 世纪与相对论

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图 27：在 1919 年对广义相对论的测试中，星星（标记为短横线）在一次日全食期间被拍摄下来。来自恒星的光线在前往地球的过程中被太阳的引力弯曲。这被解释为爱因斯坦预测的证据，表明引力会导致偏离欧几里得几何的现象。

　　 爱因斯坦的特殊相对论理论涉及四维时空——闵可夫斯基空间，它是非欧几里得几何的。这表明，非欧几里得几何——几年前为证明平行公设无法证明而引入的几何——也可以用来描述物理世界。

　　 然而，闵可夫斯基空间的三维 “空间部分” 仍然是欧几里得几何的空间。对于广义相对论来说，情况则不同，时空的空间部分的几何并非欧几里得几何。例如，如果用三束光线构造一个三角形，那么由于引力的作用，三角形的内角和通常不会等于 180 度。像地球或太阳这样的相对较弱的引力场，其度量大致是欧几里得几何，但并不完全是。在 20 世纪之前，没有技术能够检测光线中与欧几里得几何的偏差，但爱因斯坦预测了这些偏差的存在。这些偏差后来通过观测得到验证，例如 1919 年日全食期间太阳引起的星光轻微弯曲，且这些考虑如今已成为运行 GPS 系统软件的一个重要部分。

9. 作为对空间结构的描述

　　 欧几里得认为他的公设是关于物理现实的显而易见的陈述。欧几里得的证明依赖于一些在欧几里得基本公设中可能并不显然的假设，特别是某些图形的运动不会改变它们的几何属性，如边长和内角的大小，这些运动被称为欧几里得运动，包括平移、反射和旋转图形。 作为空间的物理描述，第 2 条公设（延长一条线）断言空间没有孔或边界；第 4 条公设（直角相等）表示空间是各向同性的，图形可以被移动到任何位置而保持全等；第 5 条公设（平行公设）则断言空间是平坦的（没有固有的曲率）。

　　 如上所述，阿尔伯特·爱因斯坦的相对论理论显著地修改了这一观点。

　　 欧几里得最初提出的公设的模糊性质使得不同的评论者可以在空间结构的其他一些含义上存在分歧，例如它是否是无限的（见下文）以及它的拓扑结构是什么。现代更严格的体系重构通常旨在更清晰地分离这些问题。按照这种更现代的方法来解释欧几里得的公设，第 1 到第 4 条公设可以与无限或有限的空间（如椭圆几何）相一致，并且所有五条公设都与多种拓扑结构相一致（例如二维欧几里得几何的平面、圆柱或环面）。

10. 无限的处理

无限的对象

　　 欧几里得有时明确区分 “有限线”（例如公设 2）和 “无限线”（书 I，第 12 命题）。然而，他通常不会做出这样的区分，除非有必要。公设中并没有明确提到无限线，尽管例如一些评论者将公设 3（任意半径的圆的存在）解释为意味着空间是无限的。

　　 微小量的概念之前已经在厄利斯学派中进行了广泛讨论，但没有人能够将其建立在坚实的逻辑基础上，出现了像芝诺悖论这样的悖论，这些悖论没有得到普遍的解决。欧几里得使用的是穷举法，而不是微小量的方法。

　　 后来的古代评论者，如普罗克鲁斯（公元 410–485 年），将许多关于无限的问题视为需要证明的问题。例如，普罗克鲁斯声称通过反证法证明了线的无限可分性，他在证明中考虑了构成该线的偶数和奇数个点的情况。

　　 20 世纪初，奥托·斯托尔茨、保罗·杜·博伊斯-雷蒙德、朱塞佩·维罗内塞等人提出了关于欧几里得几何的非阿基米德模型的有争议的工作，其中两点之间的距离可以是无限的或微小的，按牛顿-莱布尼茨的意义。五十年后，亚伯拉罕·罗宾逊为维罗内塞的工作提供了严格的逻辑基础。

无限过程

　　 古代的几何学家可能认为平行公设——即两条平行线永远不相交——比其他公设更不确定，因为它涉及到空间中无限遥远的区域，因此无法进行物理验证。

　　 现代的归纳法证明形式直到 17 世纪才被发展出来，但一些后来的评论者认为它在欧几里得的一些证明中是隐含的，例如，证明素数的无穷性。

　　 涉及无限级数的所谓悖论，如芝诺悖论，比欧几里得更早就存在。欧几里得避免了这种讨论，例如，在《几何原本》IX.35 中，他给出了几何级数的部分和的表达式，但没有评论让项数变为无限的可能性。

11. 逻辑基础

经典逻辑

　　 欧几里得经常使用反证法，因此传统的欧几里得几何学呈现方式假设使用经典逻辑，其中每个命题要么为真，要么为假，即对于任何命题 P，命题 “P 或非 P” 自动为真。

现代严谨性标准

　　 将欧几里得几何学建立在坚实的公理基础上是数学家们几个世纪以来的关注点。[48] 由佩阿诺代表团的阿莱桑德罗·帕多亚在 1900 年巴黎会议上明确提出了原始概念或未定义概念的作用：[48][49]

　　 ...当我们开始制定理论时，我们可以想象未定义的符号完全没有意义，而未经证明的命题仅仅是对这些未定义符号施加的条件。

　　 那么，我们最初选择的思想体系只是对未定义符号的一种解释；但是...读者可以忽略这种解释，完全可以在脑海中将其替换为另一种符合条件的解释...

　　 因此，逻辑问题就完全独立于经验性或心理学问题...

　　 未定义符号的系统可以被看作是从专业化理论中得到的抽象，当...未定义符号的系统依次被每种解释所替代时，产生了这些专业化的理论...

　　 ——帕多亚，《整数的代数理论试验，附带逻辑引论到任何演绎理论》

　　 也就是说，数学是在层次框架内的独立于上下文的知识。正如伯特兰·罗素所说：[50]

　　 如果我们的假设是关于任何事物的，而不是关于某个或某些特定事物的，那么我们的推理构成了数学。因此，数学可以定义为一个领域，在这个领域中，我们从未知道自己在谈论什么，也不知道我们所说的是否真实。

　　 ——伯特兰·罗素，《数学与形而上学家》

　　 这种基础性的方法介于基础主义和形式主义之间。

公理化表述

　　 几何学是关于不正确图形的正确推理的科学。

　　 ——乔治·波利亚，《如何解题》，第 208 页

12. 另见

经典定理

13. 注释

  1. Eves 1963, p. 19.
  2. Eves 1963, p. 10.
  3. Misner, Thorne, and Wheeler (1973), p. 47.
  4. 欧几里得的假设在现代视角下的讨论参见 Harold E. Wolfe (2007). *Introduction to Non-Euclidean Geometry*. Mill Press. p. 9. ISBN 978-1-4067-1852-2.
  5. 翻译自 Heath, pp. 195–202.
  6. Venema, Gerard A. (2006), *Foundations of Geometry*, Prentice-Hall, p. 8, ISBN 978-0-13-143700-5.
  7. Florence P. Lewis (1920 年 1 月), “平行公设的历史”，*The American Mathematical Monthly*, 27 (1), *The American Mathematical Monthly*, 第 27 卷，第 1 期: 16–23, doi:10.2307/2973238, JSTOR 2973238.
  8. Ball, p. 56.
  9. 在欧几里得的假设下，很容易给出三角形和正方形的面积公式。然而，在像集合论这样的更一般的背景下，证明正方形的面积是其各部分面积之和并不那么容易。例如，参见勒贝格测度和巴纳赫–塔尔斯基悖论。
  10. Daniel Shanks (2002). *Solved and Unsolved Problems in Number Theory*. American Mathematical Society。
  11. Mancosu, Paolo (1991). "On the Status of Proofs by Contradiction in the Seventeenth Century". *Synthese*. 88 (1): 15–41. doi:10.1007/BF00540091. JSTOR 20116923.
  12. 欧几里得，第 I 卷，第 5 命题，翻译自 Heath，第 251 页。
  13. 忽略《第一卷，第 5 命题》所称的困难，托马斯·L·希思爵士提到了另一种解释。该解释基于图形下方直线与陡峭桥梁的相似性，认为这样的桥梁可以被驴子跨越，但马不能：“但是有另一种观点（正如我最近所了解到的）更加赞扬驴子。这种解释认为，命题的图形像一个支架桥，每端都有一条坡道，坡道越平坦越可行。桥梁是这样的，虽然马无法跨越坡道，但驴子可以；换句话说，这个术语指的是驴子的稳健性，而不是它缺乏智力。”（出自希思翻译的《几何原本》第一卷 “Excursis II” 部分）。
  14. 欧几里得，第 I 卷，第 32 命题。
  15. 希思，第 135 页。摘自第 135 页。
  16. 希思，第 318 页。
  17. 欧几里得，第 XII 卷，第 2 命题。
  18. 欧几里得，第 XI 卷，第 33 命题。
  19. 巴尔，第 66 页。
  20. 巴尔，第 5 页。
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  29. Stillwell 2001，第 18-21 页；在四维欧几里得几何中，四元数只是一个(w, x, y, z)的笛卡尔坐标。哈密尔顿在发现四元数时并没有把它们看作这样的东西。Schläfli 是第一个考虑四维欧几里得空间的人，他于 1852 年发表了关于正多面体的发现，但哈密尔顿从未受到这些工作的影响，直到 20 世纪才被关注。哈密尔顿发现四元数时，他意识到某种意义上的第四维度是模拟三维空间旋转所必需的。尽管他将四元数描述为实数的有序四元组，但对于他而言，四元数是复数的扩展，而不是四维欧几里得空间。
  30. Perez-Gracia & Thomas 2017；“实际上，我们应该感谢凯利，他才是将四元数作为旋转表示的正确发展的奠基人。”
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14. 参考文献

15. 外部链接

                     

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