贡献者： int256
微分方程中经常出现混沌系统，而讨论稳定性的问题直到现在都是较有难度的一件事。李雅普诺夫（Liapunov）稳定性是现在较为成熟的一套理论方法。
1. Liapunov 稳定
考虑微分方程组
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{x}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{F}} (t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) ~,
\end{equation}
其中 $t \in \mathbb R$，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in D \subseteq \mathbb R^n$，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 在 $\mathbb R \times D$ 上连续且关于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 满足李普希兹条件。若该方程组有解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$，$t \in [t_0, +\infty)$。
定义 1 Liapunov 稳定
若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得对任意满足
\begin{equation}
\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t_0)\Vert < \delta ~~
\end{equation}
的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$，方程组以 $(t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)$ 为初值的解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)$ 在区间 $[t_0, +\infty)$ 上有定义，且 $\forall t \ge t_0$，
\begin{equation}
\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0) - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t) \Vert < \varepsilon ~,
\end{equation}
就称解 $ \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 是（在 Liapunov 意义下）
稳定的，否则称为（在 Liapunov 意义下）
不稳定的。
定义 2 渐进稳定
假设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 是稳定的，且存在 $\delta_1$（$0 < \delta_1 < \delta$）使得只要
\begin{equation}
\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t_0) \Vert < \delta_1 ~~
\end{equation}
就有
\begin{equation}
\lim_{t \to +\infty} \Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0) - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t) \Vert = 0 ~~
\end{equation}
则称解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 是（在 Liapunov 意义下）
渐近稳定的。
2. 零解的稳定性
实际研究过程中，对于任意一个解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 的研究，可以通过代换 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 转化为研究方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{y}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{F}} (t, \boldsymbol{\mathbf{y}} + \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)) ~~
\end{equation}
的零解的稳定性。因为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 就对应这方程的零解 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = 0$。
例 1
讨论方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} x = Cx ~,
\end{equation}
的零解 $x = 0$ 的稳定性。其中 $C$ 是一常数。
方程满足初始条件 $x(t_0) = x_0$ 的解是
\begin{equation}
x(t) = x_0 \exp\left(C (t - t_0)\right) ~.
\end{equation}
i）当 $a<0$ 时，$\forall \varepsilon > 0$，选 $\delta = \varepsilon$，当 $|x_0| < \delta$ 时，$\forall t \ge t_0$，
\begin{equation}
|x(t)| = |x_0 \exp\left(C (t-t_0)\right) | < \varepsilon \exp\left(C(t-t_0)\right) < \varepsilon ~,
\end{equation}
故零解是稳定的。同时容易证明也是渐近稳定的。
ii）当 $a=0$ 时，选 $\delta = \varepsilon$ 可类似的证明零解是稳定的，但由于
\begin{equation}
\lim_{t \to +\infty} |x(t)| = |x_0| \neq 0 ~,
\end{equation}
故并不是渐近稳定的。
iii）当 $a > 0$ 时，无论 $x_0$ 多小，总有
\begin{equation}
\lim_{t \to +\infty} |x(t)| = \lim_{t \to +\infty} |x_0| \exp\left(C(t-t_0)\right) = +\infty ~,
\end{equation}
故零解是不稳定的。