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一、1.证明厄密算符的本征值为实数。10 分
2.利用不确定度关系估算-维线性谐振子的基态能量,20 分
二、一个质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 $ (0 \leq x \leq a) $ 中运动，$t = 0$ 时刻的初态波函数为
$$\psi(x, 0) = \sqrt{\frac{8}{5a}} (1 + \cos \frac{\pi x}{a}) \sin \frac{\pi x}{a} \quad (0 \leq x \leq a)~$$
(1)求后来的某--时刻 $t_0$ 的波函数;
(2)求在 $t=t_0$ 时刻的平均能量;
(3)求在 $t=t_0$ 时在势阱左半部($0\leq x \leq \frac{a}{2}$) 发现粒子的率。30 分
三、粒子在一维无限深势阱 $(0,a)$ 中运动，受到微扰作用后, $$V(x) = \begin{cases} \infty & 0 < x, x > a \\\\ \lambda \delta \left( x - \frac{a}{2} \right) & 0 \leq x \leq a \end{cases}~$$ 其中 $\lambda$ 为一个很小的正数,试求基态能量准确到 $\lambda^2$ 的修正值,以及 $\lambda$ 应当满足的条件。30 分
四、证明正常寒曼效应(偶极跃迁)的选择定则为 $$\Delta l = \pm 1, \Delta m = 0, \pm 1,\text{和} \Delta s = 0~$$ 20 分
五、(1)考虑自旋为 $\frac{1}{2}$ 的系统，求出算符 $AS_{y}+BS_{z}$ 的本征值及归一化的本征函数。其中 $S_y,S_z$ 是角动量算符，$A,B$ 是实常数、
(2)假定系统处于该算特的一个本征态上，永测量 $S_y$、得到结果为 $\frac{h}{2}$ 的概率。20 分
六、设两个电子在弹性有心力场中运动，每个电子的势能是 $U(r) = \frac{1}{2}\mu \omega^2 r^2$。如果两个电子之间的库仑 $U(r)$ 相比可以忽略，求:当一个电子处在基态，另一个电子处于沿 x 方向运动的第一 激发态时，两电子的体系的波函数。 20 分