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1. 一粒子在一维势 \( V(x) \) 中运动，试求确定其稳态能级的方程。 $$V(x) = \begin{cases} U_0, & x < -a \\\\0, & -a < x < 0 \\\\\infty, & x > 0 \end{cases}~$$ (30 分)
2. 证明：在 $\left( I^2, I_z \right)$ 的共同本征态下，$\overline{I}_x = \overline{I}_y = 0$，并求 $\overline{\left( \Delta I_x \right)^2}$) 和 $\overline{\left( \Delta I_y \right)^2}$)。
（30 分）
3. 一维运动粒子的状态是 $\psi(x) = \begin{cases} Axe^{-\lambda x} &, x \geq 0 \\\\0 & ,x < 0\end{cases}$ 其中 $\lambda > 0$，求： (1) 粒子动量的几率分布函数； (2) 粒子的平均动量。
（20 分）
4. 粒子在一维势 $U(x) = \begin{cases} 0 & x \leq 0 \\\\ \frac{1}{2}\mu \omega^2 x^2 & x > 0 \end{cases}$ (1) 不解方程，写出粒子能级与波函数的表达式（设已归一化），并说明理由： (2) 加入微扰 $H' = \beta \cos \lambda x$，其中 $\beta$ 为常数，$\lambda \ll 1$，求能级至二级修正，波函数至一级修正。
（30 分）
5. 有一个自旋 1/2，磁矩为 $\mu$，电荷为 0 的粒子，置于磁场 $\mathbf{B_0}$ 中。开始时 ($t=0$) 磁场沿 $z$ 方向，$\mathbf{B_0} = (0, 0, B_0)$，粒子处于 $ \sigma_z$ 的本征态 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，即 $ \sigma_z = -1$。$t>0$ 时再加上沿 $x$ 方向的较弱的磁场 $\mathbf{B_1} = (B_1, 0, 0)$，从而 $\mathbf{B} = \mathbf{B_0} + \mathbf{B_1} = (B_1, 0, B_0)$。
求 $t > 0$ 时粒子的自旋态，以及测得自旋向上 ($ \sigma_z = 1$) 的几率。(20 分)
6. 两个全同粒子处于一维谐振子势中，分别对于下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级及本征函数。(1) 单粒子自旋为 0；(2) 单粒子自旋为 1/2；(3) 如果两粒子之间有相互作用 $-\gamma \delta(x_1 - x_2)$，($\gamma$ 为正实数)，讨论上述 (1)、(2) 两种情况下的能级移动。
（20 分）