南京航空航天大学 2005 量子真题

                     

贡献者： 待更新

　　 声明：“该内容来源于网络公开资料，不保证真实性，如有侵权请联系管理员”

　　 1. 一粒子在一维势 $V(x)$ 中运动，试求确定其稳态能级的方程。 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}{U}_0,& x<-a\\ \\ 0,& -a<x<0\\ \\ \mathrm{\infty },& x>0\end{array}$$ (30 分)

　　 2. 证明：在 $(I^2,I_z)$ 的共同本征态下，${\bar{I}}_x={\bar{I}}_y=0$，并求 $\overline{{\left(\mathrm{\Delta }{I}_x\right)}^2}$) 和 $\overline{{\left(\mathrm{\Delta }{I}_y\right)}^2}$)。

　　 （30 分）

　　 3. 一维运动粒子的状态是 $\psi (x)=\{\begin{array}{ll}Ax{e}^{-\lambda x}& ,x\ge 0\\ \\ 0& ,x<0\end{array}$ 其中 $\lambda >0$，求： (1) 粒子动量的几率分布函数； (2) 粒子的平均动量。

　　 （20 分）

　　 4. 粒子在一维势 $U(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\le 0\\ \\ \frac{1}{2}\mu {\omega }^2{x}^2& x>0\end{array}$ (1) 不解方程，写出粒子能级与波函数的表达式（设已归一化），并说明理由： (2) 加入微扰 $H^{\prime }=\beta \cos \lambda x$，其中 $\beta$ 为常数，$\lambda \ll 1$，求能级至二级修正，波函数至一级修正。

　　 （30 分）

　　 5. 有一个自旋 1/2，磁矩为 $\mu$，电荷为 0 的粒子，置于磁场 ${\mathbf{B}}_{\mathbf{0}}$ 中。开始时 ($t=0$) 磁场沿 $z$ 方向，${\mathbf{B}}_{\mathbf{0}}=(0,0,B_0)$，粒子处于 ${\sigma }_z$ 的本征态 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$，即 ${\sigma }_z=-1$。$t>0$ 时再加上沿 $x$ 方向的较弱的磁场 ${\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}=(B_1,0,0)$，从而 $\mathbf{B}={\mathbf{B}}_{\mathbf{0}}+{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}=(B_1,0,B_0)$。

　　 求 $t>0$ 时粒子的自旋态，以及测得自旋向上 (${\sigma }_z=1$) 的几率。(20 分)

　　 6. 两个全同粒子处于一维谐振子势中，分别对于下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级及本征函数。(1) 单粒子自旋为 0；(2) 单粒子自旋为 1/2；(3) 如果两粒子之间有相互作用 $-\gamma \delta (x_1-x_2)$，($\gamma$ 为正实数)，讨论上述 (1)、(2) 两种情况下的能级移动。

　　 （20 分）