南京理工大学 2009 量子真题

                     

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　　 请考生在下列 13 题中选作 10 题，每题 15 分，满分 150 分

1. 简要回答下列问题

1. 最子力学中角动量是如何定义的?地球自转是否与量子力学中的自概念相对应?
2. 玻恩近似法的基本思想是什么?
3. 如果有心力场不是库仑场(即 $V(r)$ 不与 $\frac{1}{r}$ 成比例)，则角分布函数将取什么形式?
4. 如何理解波函数必须满足的标准条件?
5. 在什么情况下力学量的测量具有确定值?两个不对易的力学量是否一定不能同时其有确定的测量值?

　　 二、定义 $[\hat{A},\hat{B}{]}_{+}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$ (反对易式)，已知 $\hat{a},\hat{b}$ 均与 $\hat{A},\hat{B}$ 对易，证明：

1. $$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}{]}_{+}-[\hat{B},\hat{C}{]}_{+}\hat{A}+\hat{C}[\hat{A},\hat{B}{]}_{+}-[\hat{A},\hat{C}{]}_{+}\hat{B}$$
2. $$[\hat{a}\hat{A},\hat{b}\hat{B}{]}_{+}=\frac{1}{2}[\hat{a},\hat{b}{]}_{+}[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2}[\hat{a},\hat{b}][\hat{A},\hat{B}{]}_{+}$$

　　 三、计算受力 $F=-kx+k_e(k=m{\omega }^2)$ 作用的一个粒子的波函数和能量允许值。
四、已知氢原子的电子波函数数为： $${\psi }_{nl{m}_l{m}_s}(r,\theta ,\varphi ,s_z)=\frac{1}{\sqrt{4}}{R}_{31}(r)Y_{11}(\theta ,\varphi ){\chi }_{1/2}(s_z)+\sqrt{\frac{3}{4}}{R}_{32}(r)Y_{20}(\theta ,\varphi ){\chi }_{-1/2}(s_z)$$ 求在 $\psi$ 态中测量氢原子能量 $E$、$L^2$、$L_z$、$s^2$、$s_z$ 的可能值和这些力学量的平均值。
五、一维运动的粒子处于状态 $\psi (x)=\{\begin{array}{ll}Ax{e}^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$ 其中 $\lambda >0,A$ 为待求的归一化常数。

1. 求归一化常数；
2. 求粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值。
3. 粒子动量的平均值和粒子动量平方的乎均值。

　　
六、设粒子处在宽度为 a 的非对称一维无限深势阱中(坐标原点取在势阱左侧阱壁处)，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。
七、质量为 $m$ 的粒子，在非对称一维无限深势阱中运动，若 $t=0$ 时，粒子处于 $$\psi (x,0)=\sqrt{\frac{1}{2}}{\phi }_1(x)-\sqrt{\frac{1}{3}}{\phi }_2(x)+\frac{1}{2}{\phi }_3(x)$$ 状态上，其中，${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$ 为粒子的第 $n$ 个能量本征态。

1. 求 $t=0$ 时能量的可能值与相应的取值概率；
2. 求 $t>0$ 时的波函数 $\psi (x,t)$ 及能量的可能值与相应的取值概率。

　　
八、厄密算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$，满足 ${\hat{A}}^2={\hat{B}}^2=1$ 和 $\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=0$，求：在 $\hat{A}$ 表象中，$\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 的矩阵表示形式。
九、已知电子自旋在空间任一方向上的投影只有两个可能取值：$\pm \frac{\hslash }{2}$，试求电子自旋在空间任意方向 $\overrightarrow{n}$ 上的投影 ${\hat{S}}_n=\hat{\overrightarrow{S}}\cdot \overrightarrow{n}={\hat{S}}_x\cos \alpha +{\hat{S}}_y\cos \beta +{\hat{S}}_z\cos \gamma$ 的归一化本征矢量。设单位矢量 $\overrightarrow{n}$ 的方向余弦为 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$。
十、设粒子被限制在矩形匣子中运动，即 $V(x,y,z)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a,0<y<b,0<z<c\\ \mathrm{\infty },& \text{其他区域}\end{array}$， 求粒子的能量本征值和本征波函数，当 $a=b=c$ 时，讨论能量的简并情况。
十一、有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场 $\overrightarrow{B}$ 的作用，磁场 $\overrightarrow{B}$ 指向 $x$ 轴正方向，磁相互作用为 $\hat{H}=\frac{eB}{\mu c}{\hat{s}}_x=\frac{eB\hslash }{2\mu c}{\hat{\sigma }}_x$。设 $t=0$ 时，电子的自旋向上，即 $S_z=\frac{\hslash }{2}$。求 $t=0$ 时 ${\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y,{\hat{S}}_z$ 的平均值。
十二、设 $\hat{K}=\hat{L}\hat{M},\hat{L}\hat{M}-\hat{M}\hat{L}=1$，$\varphi$ 为 $\hat{K}$ 的本征矢，即 $\hat{K}\varphi =\lambda \varphi$,$\lambda$ 为本征值。试证明 $\mu =\hat{L}\varphi ,\nu =\hat{M}\varphi$ 也是 $\hat{K}$ 的本征矢，相应的本征值分别为 $\lambda -1,\lambda +1$。
十三、设在 $H^0$ 表象中，$\hat{H}$ 的矩阵为： $$\hat{H}=\left(\begin{array}{ccc}{E}_1^{(0)}& 0& a\\ 0& E_2^{(0)}& 0\\ a^{\prime }& 0^{\prime }& E_3^{(0)}\end{array}\right)E_1^{(0)}<E_2^{(0)}<E_3^{(0)}$$ 试用微扰论求能量的二级修正。

2. 附

1. 一维线性谐振子的能量本征函数和能量本征值分别为： $${\mathrm{\Psi }}_n(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }{2}^{n}n!}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}{\alpha }^2{x}^2}{H}_n(\alpha x),\alpha =\sqrt{\frac{\mu \omega }{\hslash }}$$ $$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,n=0,1,2,\dots$$
2. 氢原子能量本征值： $$E_n=-\frac{\mu e^4}{32{\pi }^2{ϵ}_0^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2},$$
3. 定积分： $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-\alpha x}dx=\frac{n!}{{\alpha }^{n+1}},\alpha >0,n\text{为正整数}$$
4. 宽度为 $a$ 的非对称一维无限深势阱中，粒子的归一化能量本征函数为： $${\psi }_n=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a},& 0<x<a\\ 0,& x\le 0,x\ge a\end{array}$$ 能量本征值为： $$E_n=\frac{n^2{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{a}^2},n=1,2,3,\dots m\text{为粒子质量}$$
5. 不定积分： $$\int x\cos axdx=\frac{1}{a^2}\cos ax+\frac{x}{a}\sin ax+C$$