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本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。
在物理学中，Majorana 方程是一种相对论波动方程。它以意大利物理学家埃托雷·马约拉纳（Ettore Majorana）的名字命名，他于 1937 年提出这一方程用于描述那些自身即为反粒子的费米子。依据这一方程的粒子被称为Majorana 粒子。然而，如今这个术语涵盖了更广泛的意义，指任何（可能是非相对论的）自身为反粒子的费米子，因此这些粒子必然是电中性的。
有理论提议认为，具有质量的中微子可以用 Majorana 粒子来描述；标准模型的各种扩展允许这种可能性。关于 Majorana 粒子的文章中包含了实验搜索的最新进展，包括中微子的相关细节。而本文则主要关注该理论的数学发展，特别是其离散和连续对称性。离散对称性包括电荷共轭、宇称变换和时间反演；连续对称性为洛伦兹不变性。
电荷共轭在其中扮演了重要角色，这是使得 Majorana 粒子能够被描述为电中性的关键对称性。一个特别值得注意的特性是，电中性允许对左右手螺旋场的全局相位进行自由选择。这意味着，在没有显式限制这些相位的情况下，Majorana 场天然是 CP 破坏的。电中性带来的另一个特性是，左右手螺旋场可以被赋予不同的质量。换句话说，电荷是洛伦兹不变量，同时也是运动常数；而手性则是洛伦兹不变量，但对于具有质量的场来说不是运动常数。因此，电中性的场受到的约束比带电场更少。在电荷共轭作用下，这两个自由的全局相位出现在质量项中（因为它们是洛伦兹不变量），因此 Majorana 质量被描述为一个复矩阵，而不是一个单一数值。
简而言之，Majorana 方程的离散对称性远比 Dirac 方程复杂。在 Dirac 方程中，电荷 \( U(1) \) 对称性约束并消除了这些自由度，而在 Majorana 方程中，这些自由度得以保留。
Majorana 方程可以以几种不同的形式表示：
这三种形式是等价的，可以相互推导。每种形式提供了对方程性质的略有不同的理解。第一种形式强调可以找到纯实数解。第二种形式阐明了电荷共轭的作用。第三种形式则提供了与洛伦兹群表示理论最直接的联系。
常规的起始点是表述为 “Dirac 方程可以写成厄米形式”，当伽马矩阵采用 Majorana 表示时。Dirac 方程可以写成如下形式：[6] \[ \left( -i \frac{\partial}{\partial t} - i \hat{\alpha} \cdot \nabla + \beta m \right) \psi = 0~ \] 其中，\(\hat{\alpha}\) 是纯实数的 4×4 对称矩阵，而 \(\beta\) 是纯虚数的斜对称矩阵；这要求确保括号内的算符是厄米算符。在这种情况下，可以找到该方程的纯实数 4-自旋子解，这些解就是 Majorana 自旋子。
Majorana 方程为： \[ i \, \partial \!\!\!{\big /} \psi - m \, \psi_c = 0~ \] 其中，导数算符 \(\partial \!\!\!{\big /}\) 采用费曼斜线符号表示，包括伽马矩阵以及对自旋子分量的求和。自旋子 \(\psi_c\) 是 \(\psi\) 的电荷共轭。根据构造，电荷共轭必然由以下公式给出： \[ \psi_c = \eta_c \, C \, {\overline{\psi}}^{\mathsf{T}}~ \] 其中，\((\cdot)^{\mathsf{T}}\) 表示转置，\(\eta_c\) 是一个任意相位因子，满足 \(|\eta_c| = 1\)，通常取 \(\eta_c = 1\)，而 \(C\) 是 4×4 矩阵，即电荷共轭矩阵。矩阵 \(C\) 的表示依赖于伽马矩阵的选择。根据惯例，共轭自旋子写作： \[ {\overline{\psi}} = \psi^\dagger \, \gamma^0~ \] 由电荷共轭矩阵 \(C\) 可以推导出若干代数恒等式。[a] 其中之一表明，在任何伽马矩阵的表示下（包括 Dirac、Weyl 和 Majorana 表示），有：\(C \, \gamma_\mu = - \gamma_\mu^{\mathsf{T}} \, C\) 因此可以写为： \[ \psi_c = - \eta_c \, \gamma^0 \, C \, \psi^*~ \] 其中，\(\psi^*\) 是 \(\psi\) 的复共轭。电荷共轭矩阵 \(C\) 还具有以下性质： \[ C^{-1} = C^\dagger = C^{\mathsf{T}} = -C~ \] 在所有表示下（Dirac、手性、Majorana）。由此，通过一些代数运算，可以得到等效方程： \[ i \, \partial \!\!\!{\big /} \psi_c - m \, \psi = 0~ \]
证明
这个形式并不完全显而易见，因此值得进行证明。首先从以下方程开始： \[ -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi + m\,\psi_c = 0~ \] 展开 \(\psi_c = C\,{\overline{\psi}}^{\mathsf{T}}\)： \[ -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi + m\,C\,{\overline{\psi}}^{\mathsf{T}} = 0~ \] 乘以 \(C\)，并利用 \(C^2 = -1\)： \[ -i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi - m\,{\overline{\psi}}^{\mathsf{T}} = 0~ \] 电荷共轭作用使伽马矩阵转置： \[ +i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf{T}}\,C\,\psi - m\,\left(\gamma^0\right)^{\mathsf{T}}\,\psi^* = 0~ \] 对复共轭取反： \[ -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger} C^{*}\,\psi^* - m\,\left(\gamma^0\right)^{\dagger}\,\psi = 0~ \] 矩阵 \(\gamma^0\) 是厄米矩阵，且在三种表示下都满足 \(\left(\gamma^0\right)^{\dagger} = \gamma^0\)（Dirac、手性、Majorana）： \[ -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger} C^{*}\,\psi^* - m\,\gamma^0\,\psi = 0~ \] 它也是一个自反算符，即取厄米共轭时有 \(\gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0 = (\gamma^\mu)^{\dagger}\)： \[ -i\,\gamma^0\,{\partial \!\!\!{\big /}} \gamma^0\,C^{*}\,\psi^* - m\,\gamma^0\,\psi = 0~ \] 乘以 \(\gamma^0\)，注意到 \(\left(\gamma^0\right)^2 = I\)，并且利用 \(C^{*} = C\)： \[ -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma^0\,C\,\psi^* - m\,\psi = 0~ \] 上述等式正是共轭的定义，因此可以得出结论： \[ i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi_c - m\,\psi = 0~ \] 关于矩阵 \(C\) 作为电荷共轭的物理解释的详细讨论可以在电荷共轭的相关文章中找到。简而言之，它涉及将粒子映射到其反粒子，这其中包括电荷的反转。虽然 \(\psi_c\) 被定义为 \(\psi\) 的 “电荷共轭”，但电荷共轭算符并非只有一个特征值，而是具有两个特征值。这使得第二个自旋子——ELKO 自旋子得以定义。有关这一点的更详细讨论将在下文中进行。
在本小节中，下标 \(L\) 用于表示一个左旋的自旋子。
Majorana 算符 \( \mathrm{D}_{L} \) 定义为： \[ \mathrm{D}_{L} \equiv i \, \overline{\sigma}^{\mu} \, \partial_{\mu} + \eta \, m \, \omega \, K~ \] 其中： \[ \overline{\sigma}^{\mu} = \begin{bmatrix} \sigma^{0} & -\sigma^{1} & -\sigma^{2} & -\sigma^{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{2} & -\sigma_{\text{x}} & -\sigma_{\text{y}} & -\sigma_{\text{z}} \end{bmatrix}~ \] 是一个向量，其分量为：对于 \(\mu = 0\)，是 2×2 单位矩阵 \(I_2\)，而对于 \(\mu \in \{1, 2, 3\}\)，是 (负号) 保利矩阵。 \(\eta\) 是一个任意相位因子，满足 \(|\eta| = 1\)，通常取 \(\eta = 1\)。 \(\omega\) 是一个 2×2 矩阵，可以解释为辛群 \( \operatorname{Sp}(2, \mathbb{C}) \) 的辛形式，它是洛伦兹群的双重覆盖。 \[ \omega = i \, \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}~ \] 它恰好与虚单位 "i" 同构（即 \(\omega^2 = -I\)，且 \(a I + b \omega \cong a + b i \in \mathbb{C}\)，其中 \(a, b \in \mathbb{R}\)），并且矩阵的转置是复共轭的类似物。
最后，\( K \) 是一个简写，表示取复共轭。对于一个左旋的复数值两分量自旋子 \( \psi_L \)，Majorana 方程为： \[ \mathrm{D}_{L} \psi_L = 0~ \] 或者等价地， \[ i \, \overline{\sigma}^{\mu} \, \partial_{\mu} \psi_L(x) + \eta \, m \, \omega \, \psi_L^*(x) = 0~ \] 其中 \( \psi_L^*(x) \) 是 \( \psi_L(x) \) 的复共轭。
下标 \(L\) 在本小节中用于表示左旋自旋子；在一个宇称变换下，这可以转换为右旋自旋子，因此方程也有右旋形式。这同样适用于四分量方程，更多细节将在下文中介绍。
以下总结了 Majorana 方程的一些性质、其解和拉格朗日形式的基本思想。
Majorana 方程可以既通过实数四分量自旋子表示，也可以通过复数两分量自旋子表示。两者都可以通过 Weyl 方程构造，并加入适当的洛伦兹协变质量项。[7] 本节将提供一个明确的构造和阐述。
Weyl 方程描述了一个无质量的复值两分量自旋子的时间演化。它通常写作： \[ \sigma^{\mu} \partial_{\mu} \psi = 0~ \] 展开形式为： \[ I_2 \frac{\partial \psi}{\partial t} + \sigma_x \frac{\partial \psi}{\partial x} + \sigma_y \frac{\partial \psi}{\partial y} + \sigma_z \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0~ \] Pauli 四向量为： \[ \sigma^{\mu} = \begin{pmatrix} \sigma^0 & \sigma^1 & \sigma^2 & \sigma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \end{pmatrix}~ \] 即，一个向量，其成分为：对于 \(\mu = 0\) 是 \(2 \times 2\) 单位矩阵 \(I_2\)，对于 \(\mu = 1, 2, 3\) 是 Pauli 矩阵。通过对称性变换 \( \vec{x} \to \vec{x}' = -\vec{x} \)，可以得到对偶方程： \[ \bar{\sigma}^{\mu} \partial_{\mu} \psi = 0~ \] 其中，\(\bar{\sigma}^{\mu} = \begin{pmatrix} I_2 & -\sigma_x &-\sigma_y & -\sigma_z \end{pmatrix}\) 这两种是 Weyl 方程的不同形式；它们的解也是不同的。可以证明，这些解具有左旋和右旋的螺旋度，因此具有不同的手性。通常，明确标记这两种不同形式，如下所示： \[ \sigma^{\mu} \partial_{\mu} \psi_{\rm {R}} = 0 \quad \bar{\sigma}^{\mu} \partial_{\mu} \psi_{\rm {L}} = 0~ \]
Weyl 方程描述了一个无质量的粒子；Majorana 方程在此基础上增加了一个质量项。质量必须以洛伦兹不变的方式引入。这通过观察特殊线性群 \( \operatorname{SL}(2, \mathbb{C}) \) 与辛群 \( \operatorname{Sp}(2, \mathbb{C}) \) 同构来实现。两个群都是洛伦兹群 \( \operatorname{SO}(1,3) \) 的二重覆盖。Weyl 方程中的导数项的洛伦兹不变性通常用群 \( \operatorname{SL}(2, \mathbb{C}) \) 对自旋子的作用来描述，而质量项的洛伦兹不变性则需要调用辛群的定义关系。
洛伦兹群的二重覆盖由以下公式给出： \[ \overline{\sigma}_{\mu} \Lambda^{\mu}_{\nu} = S \overline{\sigma}_{\nu} S^{\dagger}~ \] 其中 \( \Lambda \in \operatorname{SO}(1, 3) \)，而 \( S \in \operatorname{SL}(2, \mathbb{C}) \)，\( S^{\dagger} \) 是厄米转置。这用于将洛伦兹变换 \( x \mapsto x' = \Lambda x \) 下的微分变换性质与自旋子变换性质联系起来。
辛群 \( \operatorname{Sp}(2, \mathbb{C}) \) 定义为满足以下条件的所有复 \( 2 \times 2 \) 矩阵 \( S \) 的集合： \[ \omega^{-1} S^{\textsf{T}} \omega = S^{-1}~ \] 其中， \[ \omega = i \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}~ \] 是一个反对称矩阵。它用于定义 \( \mathbb{C}^2 \) 上的辛双线性形式。考虑一对任意的二维向量 \( u, v \in \mathbb{C}^2 \)： \[ u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}~ \] 辛积为： \[ \langle u, v \rangle = - \langle v, u \rangle = u_1 v_2 - u_2 v_1 = u^{\textsf{T}} \omega v~ \] 其中 \( u^{\textsf{T}} \) 是 \( u \) 的转置。这个形式在洛伦兹变换下是不变的，即： \[ \langle u, v \rangle = \langle S u, S v \rangle~ \] 反对称矩阵将 Pauli 矩阵转化为它们的负转置： \[ \omega \sigma_k \omega^{-1} = - \sigma_k^{\textsf{T}}~ \] 对于 \( k = 1, 2, 3 \)。该反对称矩阵可以被解释为一个宇称变换和转置作用在二自旋子上的结果。然而，正如稍后章节中将强调的，它也可以被解释为电荷共轭算符的组成部分，另一个组成部分是复共轭。将其应用于洛伦兹变换可得： \[ \sigma_{\mu} \Lambda^{\mu}_{\nu} = \left( S^{-1} \right)^{\dagger} \sigma_{\nu} S^{-1}~ \] 这两种变体分别描述了作用在左自旋子和右自旋子上的微分的协变性性质。
在洛伦兹变换 \( x \mapsto x' = \Lambda x \) 下，微分项的变换为： \[ \sigma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi_{\rm{R}}(x) \mapsto \sigma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x'^{\mu}} \psi_{\rm{R}}(x') = (S^{-1})^{\dagger} \sigma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi_{\rm{R}}(x)~ \] 前提是右手场变换为： \[ \psi_{\rm{R}}(x) \mapsto \psi_{\rm{R}}^{\prime}(x') = S \psi_{\rm{R}}(x)~ \] 同样地，左手微分项变换为： \[ \overline{\sigma}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi_{\rm{L}}(x) \mapsto \overline{\sigma}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x'^{\mu}} \psi_{\rm{L}}(x') = S \overline{\sigma}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi_{\rm{L}}(x)~ \] 前提是左手自旋子变换为： \[ \psi_{\rm{L}}(x) \mapsto \psi_{\rm{L}}^{\prime}(x') = (S^{\dagger})^{-1} \psi_{\rm{L}}(x)~ \]
证明
这些变换性质并非特别 “显而易见”，因此需要进行仔细的推导。首先从以下形式开始： \[ \psi_{\rm{R}}(x) \mapsto \psi_{\rm{R}}^{\prime}(x') = R \psi_{\rm{R}}(x)~ \] 其中，未知的 \( R \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \) 待确定。洛伦兹变换在坐标中为： \[ x'^{\mu} = {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}~ \] 或者等价地， \[ x^{\nu} = \left( \Lambda^{-1} \right)^{\nu}_{\mu} x'^{\mu}~ \] 这导致： \[ \sigma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x'^{\mu}} \psi_{\rm{R}}(x') = \sigma^{\mu} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} R \psi_{\rm{R}}(x) = \sigma^{\mu} \left( \Lambda^{-1} \right)^{\nu}_{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} R \psi_{\rm{R}}(x) = \sigma^{\mu} \left( \Lambda^{-1} \right)^{\nu}_{\mu} \partial_{\nu} R \psi_{\rm{R}}(x)~ \] 为了利用 Weyl 映射： \[ \sigma_{\mu} {\Lambda^{\mu}}_{\nu} = (S^{-1})^{\dagger} \sigma_{\nu} S^{-1}~ \] 需要升降一些指标。这并非易事，因为它涉及到以下恒等式： \[ \eta \Lambda^T \eta = \Lambda^{-1}~ \] 其中 \( \eta = \operatorname{diag}(+1, -1, -1, -1) \) 是平坦空间的闵可夫斯基度规。上述恒等式通常用于定义 \( \Lambda \in \operatorname{SO}(1,3) \)。对其转置： \[ \left( \Lambda^{-1} \right)^{\nu}_{\mu} = \left( \Lambda^{-1T} \right)_{\mu}^{\nu}~ \] 得到： \[ \sigma^{\mu} \left( \Lambda^{-1} \right)^{\nu}_{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} R \psi_{\rm{R}}(x) = \sigma^{\mu} \left( \Lambda^{-1T} \right)_{\mu}^{\nu} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} R \psi_{\rm{R}}(x) = \sigma_{\mu} {\Lambda^{\mu}}_{\nu} \frac{\partial^{\nu}}{\partial x} R \psi_{\rm{R}}(x) = (S^{-1})^{\dagger} \sigma_{\mu} \partial^{\mu} S^{-1} R \psi_{\rm{R}}(x)~ \] 因此，如果 \( S^{-1} R = 1 \)，即 \( R = S \)，则恢复原来的形式。
对左手方程进行相同的推导，可以得出结论： \[ \psi_{\rm{L}}(x) \mapsto \psi_{\rm{L}}^{\prime}(x') = L \psi_{\rm{L}}(x)~ \] 其中 \( L = (S^{\dagger})^{-1} \)。
右手自旋场的共轭场变换为： \[ \psi_{\rm{R}}^{*}(x) \mapsto \psi_{\rm{R}}^{\prime *}(x') = S^{*} \psi_{\rm{R}}^{*}(x)~ \] 对于 \( \operatorname{Sp}(2, \mathbb{C}) \) 的定义关系，可以重写为：\(\omega S^{*} = \left( S^{\dagger} \right)^{-1} \omega\) 由此可以得出，偏斜复共轭场变换为： \[ m\omega \psi_{\rm{R}}^{*}(x) \mapsto m\omega \psi_{\rm{R}}^{\prime *}(x') = \left( S^{\dagger} \right)^{-1} m\omega \psi_{\rm{R}}^{*}(x)~ \] 这与微分的协变性质完全兼容。设 \( \eta = e^{i\phi} \) 为任意复相位因子，那么线性组合： \[ i\sigma^{\mu} \partial_{\mu} \psi_{\rm{R}}(x) + \eta m\omega \psi_{\rm{R}}^{*}(x)~ \] 以协变方式变换。将其设为零得到右手场的复二分量马约拉纳方程。同样，左手场的马约拉纳方程（包括任意相位因子 \( \zeta \)）为： \[ i {\overline {\sigma}}^{\mu} \partial_{\mu} \psi_{\rm{L}}(x) + \zeta m\omega \psi_{\rm{L}}^{*}(x) = 0~ \] 左手和右手自旋的版本通过宇称变换相互联系。如下所示，只有当 \( \eta = \zeta \) 时，它们平方后才会得到克莱因-戈尔登算符。偏斜复共轭：\(\omega \psi^{*} = i \sigma^{2} \psi\) 可以识别为 \( \psi \) 的电荷共轭形式；这一点将在下面进一步阐述。因此，马约拉纳方程可以看作是将一个自旋子与其电荷共轭形式联系起来的方程。
定义一对算符，马约拉纳算符： \[ \mathrm{D}_{\rm{L}} = i {\overline{\sigma}}^{\mu} \partial_{\mu} + \zeta m \omega K \quad \mathrm{D}_{\rm{R}} = i \sigma^{\mu} \partial_{\mu} + \eta m \omega K~ \] 其中 \( K \) 是一个简写，表示取复共轭。根据洛伦兹变换，这些算符变换为： \[ \mathrm{D}_{\rm{L}} \mapsto \mathrm{D}_{\rm{L}}' = S \mathrm{D}_{\rm{L}} S^{\dagger} \quad \mathrm{D}_{\rm{R}} \mapsto \mathrm{D}_{\rm{R}}' = \left( S^{\dagger} \right)^{-1} \mathrm{D}_{\rm{R}} S^{-1}~ \] 而魏尔自旋子变换为： \[ \psi_{\rm{L}} \mapsto \psi_{\rm{L}}' = \left( S^{\dagger} \right)^{-1} \psi_{\rm{L}} \quad \psi_{\rm{R}} \mapsto \psi_{\rm{R}}' = S \psi_{\rm{R}}~ \] 如上所示。因此，这些算符的匹配组合是洛伦兹协变的，可以得到一对复二分量马约拉纳方程： \[ \mathrm{D}_{\rm{L}} \psi_{\rm{L}} = 0 \quad \mathrm{D}_{\rm{R}} \psi_{\rm{R}} = 0~ \] 算符积 \( \mathrm{D}_{\rm{L}} \mathrm{D}_{\rm{R}} \) 和 \( \mathrm{D}_{\rm{R}} \mathrm{D}_{\rm{L}} \) 都是洛伦兹协变的。具体的积为： \[ \mathrm{D}_{\rm{R}} \mathrm{D}_{\rm{L}} = \left( i \sigma^{\mu} \partial_{\mu} + \eta m \omega K \right) \left( i {\overline{\sigma}}^{\mu} \partial_{\mu} + \zeta m \omega K \right) = - \left( \partial_{t}^2 - {\vec{\nabla}} \cdot {\vec{\nabla}} + \eta \zeta^{*} m^2 \right) = - \left( \Box + \eta \zeta^{*} m^2 \right)~ \] 验证这一点时，需要注意到 \( \omega^2 = -1 \) 和 \( K i = -i K \)。右边的表达式在满足 \( \eta \zeta^{*} = 1 \) 时简化为克莱因-戈尔登算符，即 \( \eta = \zeta \)。因此，这两个马约拉纳算符是克莱因-戈尔登算符的 “平方根”。
从复数二分量方程可以构造出实数四分量的马约拉纳方程。设复场 \(\psi_{\rm{L}}\) 满足 \(\mathrm{D}_{\rm{L}} \psi_{\rm{L}} = 0\) 定义 \[ \chi_{\rm{R}} \equiv -\eta \omega \psi_{\rm{L}}^{*}~ \] 使用上述代数工具，可以很容易地证明 \[ \left(i \sigma^{\mu} \partial_{\mu} - \eta m \omega K \right) \chi_{\rm{R}} = 0~ \] 定义共轭算符 \[ \delta_{\rm{R}} = i \sigma^{\mu} \partial_{\mu} - \eta m \omega K~ \] 则四分量马约拉纳方程为 \[ \left( \mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}} \right) \left( \psi_{\rm{L}} \oplus \chi_{\rm{R}} \right) = 0~ \] 展开后得到 \[ \mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}} = \begin{bmatrix} \mathrm{D}_{\rm{L}} & 0 \\ 0 & \delta_{\rm{R}} \end{bmatrix} = i \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \partial_{t} + i \begin{bmatrix} -\sigma^{k} & 0 \\ 0 & \sigma^{k} \end{bmatrix} \nabla_{k} + m \begin{bmatrix} \eta \omega K & 0 \\ 0 & -\eta \omega K \end{bmatrix}~ \] 左乘 \[ \beta = \gamma^{0} = \begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix}~ \] 可以将其写成矩阵形式，其中魏尔表示下的伽马矩阵可以被识别。得到 \[ \beta \left( \mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \delta_{\rm{R}} \\ \mathrm{D}_{\rm{L}} & 0 \end{bmatrix} = i \beta \partial_{t} + i \begin{bmatrix} 0 & \sigma^{k} \\ -\sigma^{k} & 0 \end{bmatrix} \nabla_{k} - m \begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix}~ \] 即 \[ \beta \left( \mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}} \right) = i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix}~ \] 应用于四分量自旋子 \[ \psi_{\rm{L}} \oplus \chi_{\rm{R}} = \begin{pmatrix} \psi_{\rm{L}} \\ \chi_{\rm{R}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_{\rm{L}} \\ -\eta \omega \psi_{\rm{L}}^{*} \end{pmatrix}~ \] 并记住 \( \omega^2 = -1 \)，可以发现该自旋子是质量项的特征态： \[ \begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \psi_{\rm{L}} \\ -\eta \omega \psi_{\rm{L}}^{*} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_{\rm{L}} \\ -\eta \omega \psi_{\rm{L}}^{*} \end{pmatrix}~ \] 因此，对于这个特定的自旋子，四分量马约拉纳方程简化为狄拉克方程： \[ \left(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \begin{pmatrix} \psi_{\rm{L}} \\ -\eta \omega \psi_{\rm{L}}^{*} \end{pmatrix} = 0~ \] 该反对称矩阵可以与电荷共轭算符（在魏尔基准下）对应。明确地说，它是 \[ \mathsf{C} = \begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix}~ \] 给定一个任意的四分量自旋子 \(\psi\)，其电荷共轭为 \[ \mathsf{C} \psi = \psi^{c} = \eta C {\overline{\psi}}^{\textsf{T}}~ \] 其中 \(C\) 是一个普通的 \(4 \times 4\) 矩阵，具有在伽马矩阵一文中明确给出的形式。总结来说，四分量马约拉纳方程可以写作 \[ 0 = \left(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \mathsf{C} \right) \psi = i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - m \psi^{c}~ \]
在四分量马约拉纳方程中，电荷共轭算符直接出现。当自旋子场是其自身的电荷共轭时，即当 \(\psi^{c} = \psi\) 时，马约拉纳方程简化为狄拉克方程，任何解都可以解释为描述一个电中性场。然而，电荷共轭算符不仅具有一个，而是两个不同的特征态，其中一个是 ELKO 自旋子；它并不能解马约拉纳方程，而是解其符号翻转的版本。
四分量自旋子的电荷共轭算符 \(\mathsf{C}\) 定义为 \[ \mathsf{C} \psi = \psi_{c} = \eta C \left( \overline{\psi} \right)^{\textsf{T}}~ \] 关于该算符在电荷方面的物理解释的详细讨论，请参见电荷共轭的相关文章。更多讨论可以参考 Bjorken & Drell 或 Itzykson & Zuber。[11][c] 在更抽象的术语中，它是电磁场的 \( U(1) \) 耦合的自旋子等价物。可以通过以下方式看出这一点。如果有一个单一的实标量场，它不能与电磁学耦合；然而，一对实标量场，排列成一个复数，可以。对于标量场，电荷共轭与复共轭相同。\( U(1) \) 规范理论的离散对称性来自于 “平凡” 的观察： \[ *: U(1) \to U(1) \quad e^{i\phi} \mapsto e^{-i\phi}~ \] 这是 \( U(1) \) 的一个自同构。对于自旋子场，情况更加复杂。粗略地说，马约拉纳场是电中性的，并且适当地组合两个马约拉纳场可以解释为一个电荷自旋子。上述给出的电荷共轭算符对应于 \( U(1) \) 的自同构。
在上述公式中，\( C \) 是一个 \( 4 \times 4 \) 矩阵，具体形式在伽马矩阵的文章中给出。其显式形式依赖于表示。电荷共轭算符 \(\mathsf{C}\) 不能写成一个 \( 4 \times 4 \) 矩阵，因为它是对 \(\psi\) 进行复共轭，而复共轭不能通过一个复的 \( 4 \times 4 \) 矩阵来实现。它可以写成一个实的 \( 8 \times 8 \) 矩阵，前提是将 \(\psi\) 也写成一个纯实的 8 分量自旋子。设 \( K \) 代表复共轭，即 \(K(x + iy) = x - iy\) 那么，对于四分量自旋子，可以写出： \[ \mathsf{C} = -\eta \gamma^0 C K~ \] 不难证明 \(\mathsf{C}^2 = 1 \quad \text{并且} \quad \mathsf{C} \gamma^{\mu} \mathsf{C} = -\gamma^{\mu}\) 从第一个恒等式可以得出 \(\mathsf{C}\) 有两个特征值，可以写成 \[ \mathsf{C} \psi^{(\pm)} = \pm \psi^{(\pm)}~ \] 特征向量可以在魏尔基准下容易地找到。从上述公式来看，在这个基准下，\(\mathsf{C}\) 显式地是 \[ \mathsf{C} = \begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix}~ \] 因此， \[ \psi_{\text{Weyl}}^{(\pm)} = \begin{pmatrix} \psi_{\rm{L}} \\ \mp \eta \omega \psi_{\rm{L}}^{*} \end{pmatrix}~ \] 这两个特征向量显然都是马约拉纳方程的解。然而，只有正特征向量是狄拉克方程的解： \[ 0 = \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \mathsf{C} \right) \psi^{(+)} = \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi^{(+)}~ \] 负特征向量 “无效”，它在狄拉克质量项上有错误的符号。然而，它仍然解克莱因–戈尔登方程。负特征向量称为 ELKO 自旋子。
证明
两个特征态都解克莱因–戈尔登方程可以从之前的两个分量版本的恒等式推导出来。定义如前所示， \[ \mathrm{D}_{\rm{L}} = i\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu} + \eta m \omega K \quad \mathrm{D}_{\rm{R}} = i\sigma^{\mu}\partial_{\mu} + \eta m \omega K~ \] 如前所示， \[ \mathrm{D}_{\rm{R}}\mathrm{D}_{\rm{L}} = \mathrm{D}_{\rm{L}}\mathrm{D}_{\rm{R}} = -(\square + m^2)~ \] 四分量自旋子需要引入 \[ \delta_{\rm{L}} = i\overline{\sigma}^{\mu} \partial_{\mu} - \eta m \omega K \quad \delta_{\rm{R}} = i \sigma^{\mu} \partial_{\mu} - \eta m \omega K~ \] 它们也满足 \[ \delta_{\rm{R}} \delta_{\rm{L}} = \delta_{\rm{L}} \delta_{\rm{R}} = -(\square + m^2)~ \] 因此， \[ (\mathrm{D}_{\rm{R}} \oplus \delta_{\rm{L}})(\mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}}) = -(\square + m^2)~ \] 在基尔表示中，需要额外的因子 \(\beta = \gamma^0\)
因此， \[ \beta (\mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}}) = i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \mathsf{C} \quad \beta (\delta_{\rm{L}} \oplus \mathrm{D}_{\rm{R}}) = i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} + m \mathsf{C}~ \] 因此可以得出结论： \[ (\mathrm{D}_{\rm{R}} \oplus \delta_{\rm{L}})(\mathrm{D}_{\rm{L}} \oplus \delta_{\rm{R}}) = (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} + m \mathsf{C})(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \mathsf{C}) = -(\square + m^2)~ \] 也就是说，电荷共轭算符的两个特征向量都解克莱因–戈尔登方程。最后一个恒等式也可以通过直接验证来确认，注意到 \(\mathsf{C} i = -i \mathsf{C}\) 并且 \(\mathsf{C} \gamma^{\mu} = -\gamma^{\mu} \mathsf{C}\)
在宇称变换下，左手自旋子会变换为右手自旋子。电荷共轭算符的两个特征向量，仍然在 Weyl 基下为： \[ \psi_{\rm{R},{\text{Weyl}}}^{(\pm)} = \begin{pmatrix} \pm \eta \omega \psi_{\rm{R}}^{*} \\ \psi_{\rm{R}} \end{pmatrix}~ \] 如前所述，这两个特征向量都解四分量的 Majorana 方程，但只有一个也解 Dirac 方程。这可以通过构造宇称对偶的四分量方程来证明。该方程的形式为： \[ \beta \left( \delta_{\rm{L}} \oplus \mathrm{D}_{\rm{R}} \right) = i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} + m \mathsf{C}~ \] 其中， \[ \delta_{\rm{L}} = i \overline{\sigma}^{\mu} \partial_{\mu} - \eta m \omega K~ \] 给定两个分量自旋子 \(\psi_{\rm{R}}\)，定义其共轭为 \(\chi_{\rm{L}} = -\eta \omega \psi_{\rm{R}}^{*}.\) 不难证明，\(\mathrm{D}_{\rm{R}} \psi_{\rm{R}} = -\eta \omega (\delta_{\rm{L}} \chi_{\rm{L}})\) 因此，如果 \(\mathrm{D}_{\rm{R}} \psi_{\rm{R}} = 0\)，那么也有 \(\delta_{\rm{L}} \chi_{\rm{L}} = 0\)，从而得到 \[ 0 = \left( \delta_{\rm{L}} \oplus \mathrm{D}_{\rm{R}} \right) \left( \chi_{\rm{L}} \oplus \psi_{\rm{R}} \right)~ \] 或者等价地， \[ 0 = \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} + m \mathsf{C} \right) \begin{pmatrix} \chi_{\rm{L}} \\ \psi_{\rm{R}} \end{pmatrix}~ \] 这是成立的，因为 \(\mathsf{C} \left( \chi_{\rm{L}} \oplus \psi_{\rm{R}} \right) = -\left( \chi_{\rm{L}} \oplus \psi_{\rm{R}} \right)\) 因此，这归约为 Dirac 方程： \[ \psi_{{\rm{R}},{\text{Weyl}}}^{(-)} = \chi_{\rm{L}} \oplus \psi_{\rm{R}} = \begin{pmatrix} \chi_{\rm{L}} \\ \psi_{\rm{R}} \end{pmatrix}~ \] 最后，重申一下，Majorana 方程为： \[ 0 = \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \mathsf{C} \right) \psi = i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - m \psi_{c}~ \] 它有四个不相等的线性独立解，\(\psi_{\rm{L,R}}^{(\pm)}\)。其中，只有两个也是 Dirac 方程的解：即 \(\psi_{\rm{L}}^{(+)}\) 和 \(\psi_{\rm{R}}^{(-)}\)。
编写解的一个方便起点是从自旋子在静止参考系中的方式出发。按照常规符号约定（\( H = i \partial_t \)）写出量子哈密顿量，得到马约拉纳方程的形式： \[ i \partial_t \psi = -i \vec{\alpha} \cdot \nabla \psi + m \beta \psi_c~ \] 在手性（魏尔）基底中，定义为： \[ \gamma^0 = \beta = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{\alpha} = \begin{pmatrix} \vec{\sigma} & 0 \\ 0 & -\vec{\sigma} \end{pmatrix}~ \] 其中 \(\vec{\sigma}\) 是泡利矢量。这里的符号约定与文章中的伽马矩阵一致。代入上面给出的正电荷共轭本征态 \( \psi_{\text{Weyl}}^{(+)} \)，得到二分量自旋子方程： \[ i \partial_t \psi_{\rm L} = -i \vec{\sigma} \cdot \nabla \psi_{\rm L} + m (i \sigma_2 \psi_{\rm L}^*)~ \] 同样地， \[ i \partial_t (i \sigma_2 \psi_{\rm L}^*) = +i \vec{\sigma} \cdot \nabla (i \sigma_2 \psi_{\rm L}^*) + m \psi_{\rm L}~ \] 这两个方程实际上是相同的，可以通过注意到 \( \sigma_2 \) 产生泡利矩阵的共轭复数来验证： \[ \sigma_2 (\vec{k} \cdot \vec{\sigma}) \sigma_2 = -\vec{k} \cdot \vec{\sigma}^*~ \] 能量-动量（\(k_0, \vec{k}\)）的平面波解可以在静止参考系中最容易地表达出来。自旋向上静止参考系解为： \[ \psi_{\rm L}^{(u)} = \begin{pmatrix} e^{-imt} \\ e^{imt} \end{pmatrix}~ \] 而自旋向下解为： \[ \psi_{\rm L}^{(d)} = \begin{pmatrix} e^{imt} \\ -e^{-imt} \end{pmatrix}~ \] 这些解的正确解释可以通过将其重新表示为狄拉克基底中的狄拉克自旋子来验证。在这种情况下，它们的形式为： \[ \psi_{\text{Dirac}}^{(u)} = \begin{bmatrix} e^{-imt} \\ 0 \\ 0 \\ -e^{imt} \end{bmatrix}~ \] 和 \[ \psi_{\text{Dirac}}^{(d)} = \begin{bmatrix} 0 \\ e^{-imt} \\ -e^{imt} \\ 0 \end{bmatrix}~ \] 这些是静止参考系中的自旋子。它们可以被看作是狄拉克方程的正能量解和负能量解的线性组合。这是唯一的两种解；与有四个解的狄拉克方程不同，马约拉纳方程只有两个线性独立的解。狄拉克方程自由度的加倍可以归因于狄拉克自旋子携带电荷。
马约拉纳方程中同时出现 \( \psi \) 和 \( \psi_c \) 表明，场 \( \psi \) 不能与带电的电磁场耦合，否则会违反电荷守恒，因为粒子的电荷与其反粒子的电荷相反。为了满足这一限制，必须假设 \( \psi \) 是电中性的。可以进一步详细阐述这一点。
当伽马矩阵以马约拉纳表示法给出时，狄拉克方程可以写成纯实数的形式。此时，狄拉克方程可以写为： \[ \left(-i \frac{\partial}{\partial t} - i \hat{\alpha} \cdot \nabla + \beta m \right)\psi = 0~ \] 其中 \( \hat{\alpha} \) 是纯实对称矩阵，而 \( \beta \) 是纯虚反对称矩阵。在这种情况下，可以找到方程的纯实解，这些解就是马约拉纳自旋子。在洛伦兹变换作用下，这些自旋子变换属于（纯实的）自旋群 \( \operatorname{Spin}(1,3) \)，这与狄拉克自旋子不同，后者仅在复化自旋群 \( \operatorname{Spin}^{\mathbb{C}}(1,3) \) 下是协变的。其解释是，复化自旋群编码了电磁势，而实自旋群则没有。
这也可以用另一种方式表达：狄拉克方程和狄拉克自旋子包含足够的规范自由度，可以自然地编码电磁相互作用。可以通过注意到，电磁势可以非常简单地加到狄拉克方程中，而不需要对方程或自旋子做任何额外的修改或扩展，来看出这一点。这种额外自由度的位置由电荷共轭算符确定，施加马约拉纳约束 \( \psi = \psi_c \) 去除了这一额外自由度。一旦去除，就不能再与电磁势耦合，因此马约拉纳自旋子必然是电中性的。只有通过添加回一个复数相位因子，并将该相位因子与电磁势耦合，才能获得电磁耦合。
通过在 \( (p,q) \) 空间维度中考察该情况，可以进一步阐明上述内容。在这种情况下，复化自旋群 \( \operatorname{Spin}^{\mathbb{C}}(p,q) \) 由 \( \operatorname{SO}(p,q) \times S^1 \) 进行双重覆盖，其中 \( S^1 \cong U(1) \) 是单位圆。其含义是，\( \operatorname{SO}(p,q) \) 编码了广义的洛伦兹变换，而单位圆可以与规范群对电荷的 \( U(1) \) 作用对应。也就是说，复化自旋群对狄拉克自旋子的规范群作用可以分解为一个纯实的洛伦兹部分和一个电磁部分。这一点可以在非平坦（非闵可夫斯基平坦）自旋流形上进一步阐述。在这种情况下，狄拉克算符作用于自旋子束。分解为不同的项后，它包括通常的协变导数 \( d + A \)。可以看到，\( A \) 场直接来源于自旋束的复化部分的曲率，因为规范变换耦合到复化部分，而不是实自旋子部分。\( A \) 场对应于电磁势可以通过以下方式看出：（例如）狄拉克算符的平方是拉普拉斯算符加上标量曲率 \( R \)（自旋子场所处的基本流形的曲率）再加上（电磁）场强 \( F = dA \)。
对于马约拉纳情况，只有洛伦兹变换作用于马约拉纳自旋子；复化在此没有作用。关于这些主题的详细讨论可以参见 Jost[12]，而 \( (p,q) = (1,3) \) 的情况则在 Bleeker[13] 中进行了阐述。不幸的是，两个文本都没有明确以直接形式阐述马约拉纳自旋子。
马约拉纳方程的量子允许两类粒子，一类是中性粒子，另一类是它的中性反粒子。经常应用的附加条件 \( \Psi = \Psi_c \) 对应于马约拉纳自旋子。
主条目：马约拉纳粒子 与马约拉纳自旋子对应的粒子被称为马约拉纳粒子，这是由于上述的自共轭约束。标准模型中包含的所有费米子都被排除为马约拉纳费米子（因为它们有非零电荷，因此不能是自己的反粒子），唯一的例外是中微子（它是中性的）。
理论上，中微子是这一模式的可能例外。如果是这样，无中微子双β衰变，以及一系列违反轻子数的介子和带电轻子衰变是可能的。目前正在进行一系列实验，以探究中微子是否是马约拉纳粒子。[14]