贡献者： addis
1. 拉格朗日方程的广义力拓展
在之前的讨论中，所有的系统外力都可以包含进拉格朗日量 $L = T-V$ 的势能项 $V$ 中。和之前一样，为了书写方便式中 $q$ 代表 $q_1, \dots, q_N$，$\dot q$ 也同理。本文仍然假设 $V$ 不显含 $\dot q$，即并非广义势能。我们可以先把 $V$ 看成所有质点位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 和 $t$ 的函数，这样势能 $V$ 对每个质点产生的力就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(V)} = - \boldsymbol\nabla _j V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2,\dots,t) = - \frac{\partial V}{\partial x_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{\partial V}{\partial y_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \frac{\partial V}{\partial z_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
然后再把每个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 看成广义坐标 $q$ 和时间 $t$ 的函数，就有 $V = V(q,t)$。
这些力一般来说是保守力（如重力，弹簧弹力等），然而许多情况中还可能出现种种非保守力，例如摩擦力等，较难用势能描述。这时引入广义力（generalized force）的概念会更方便。每个广义坐标 $q_i$ 对应一个广义力，定义为（$i=1,\dots,N$，下同）
\begin{equation}
Q_i = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)} \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} ~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)}$ 是作用点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 的主动力（即非约束力）
1。
若除了势能项 $V$ 产生的主动力（式 1 ）外还存在其他主动力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(e)}$（上标 $e$ 表示 extra），那么拉格朗日方程（式 1 ）可以拓展为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} + Q_i^{(e)}~,
\end{equation}
其中 $Q_i^{(e)}$ 的定义是把
式 2 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j$ 替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(e)}$。上式的证明见 “
拉格朗日方程的证明、达朗贝尔定理”。
在该证明过程中还会发现，式 3 中的 $ \partial L/\partial q_i = \partial T/\partial q_i - \partial V/\partial q_i $ 的最后一项同样符合广义力的定义
\begin{equation}
Q_i^{(V)} = - \frac{\partial V}{\partial q_i} = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(V)} \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} ~,
\end{equation}
那么如果令总广义力为
\begin{equation}
Q_i = Q_i^{(V)} + Q_i^{(e)}~,
\end{equation}
那么拉格朗日方程
式 3 也可以完全抛开势能项记为（假设 $V$ 不显含 $\dot q$）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial T}{\partial q_i} + Q_i~.
\end{equation}
例 1 受阻耦合弹簧振子
例 3 中，若两个滑块受到于速度相反，大小与速度平方成正比的摩擦力，比例系数为 $\alpha$，求运动方程。
注意摩擦力是取决于运动方向的。令 $\dot x_i \geqslant 0$ 时 $s_i = 1$，$\dot x_i < 0$ 时 $s_i = -1$，那么使用式 2 ，广义力为
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q_x &= F_1 \frac{\partial x_1}{\partial x} + F_2 \frac{\partial x_2}{\partial x} = (-\alpha s_1\dot x_1^2) \cdot \frac{1}{2} + (-\alpha s_2\dot x_2^2) \cdot \frac{-1}{2}\\
&= \frac{\alpha}{2}(s_1\dot x_1^2 - s_2 \dot x_2^2)~.
\end{aligned}
\end{equation}
同理得
\begin{equation}
Q_X = -\alpha(s_1 \dot x_1^2 + s_2\dot x_2^2)~,
\end{equation}
现在 $s_1,s_2,\dot x_1,\dot x_2$ 可以进一步写成 $\dot x, \dot X$ 的函数，具体略。求得含摩擦力的运动方程为
\begin{equation}
m\ddot x = - 3kx + 2Q_x~, \qquad
m\ddot X = - kX + \frac{Q_X}{2}~.
\end{equation}
2. 广义力做功
若干力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j$ 对系统的功率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
P &= \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j
= \sum_{i,j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \dot q_i + \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial t} \\
&= \sum_i Q_i \dot q_i + \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial t} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以
若系统没有不稳定约束，即最后一项 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j/\partial t = 0$，则每个广义力的功率为
\begin{equation}
P_i = Q_i \dot q_i~,
\end{equation}
一段时间内的做功为
\begin{equation}
W_i = \int_{t_1}^{t_2} Q_i \dot q_i \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
总功率和总功就是对所有 $P_i$ 和 $W_i$ 求和。
在学了虚功后会看到，广义力对广义坐标积分等于虚功（子节 1 ）。
1. ^ 事实上把式 2 中的主动力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)}$ 换成质点 $j$ 的所受的合力也无妨，合力包括约束力和主动力。然而达朗贝尔原理（式 18 ）告诉我们约束力对广义力的贡献为零。