LSZ约化公式（标量场）

                     

贡献者： _Eden_

入态和出态的构造

　　 定义 $\tilde{\phi}(p)$ 为海森堡场 $\phi(x)$ 的傅里叶分量。

计算能量动量算符 $P^\mu$ 与它的对易子，可以得到

这意味着 $P^\mu \tilde \phi(p) \left\lvert \Omega \right\rangle =p^\mu \tilde{\phi}(p) \left\lvert \Omega \right\rangle $，也就是说 $\tilde\phi (p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 要么是 $0$，要么是能动量本征值为 $p^\mu$ 的态。进一步可以证明，由该算符构造的态矢量所构成的集合中，$p^2$ 相同的态矢量之间由洛伦兹变换相联系。我们在讨论物理态的性质时，已经对物理态的能谱有一系列假定，例如单粒子态为场的最低能激发，其能动量满足质壳条件 $p^2=m^2$；多粒子态的能谱位于 $p^2\ge (2m)^2$ 这一连续区域；可能存在束缚态的能谱在位于 $m$ 到 $2m$ 之间孤立的双曲面上。这一系列假定意味着上面构造的 $\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 仅当 $p^2$ 满足一定条件时才是非 $0$ 的态。现在我们希望构造单粒子态，假定 $p^2$ 在 $m^2$ 附近，当 $p^2$ 恰好等于 $m^2$ 时 $\tilde{\phi}(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 才不为零。将它与单粒子态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 作内积： \[ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \tilde\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =\int d^4 {x} e^{-ikx} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \phi(x) \left\lvert \Omega \right\rangle ~. \] 利用 $\phi(x)=e^{iPx}\phi(0)e^{-iPx}$ 和 $U\phi(0)U^{-1}=\phi(0)$（其中 $U$ 是洛伦兹变换，$U^\dagger U=1,U | \boldsymbol{\mathbf{k}} \rangle = | \boldsymbol{\mathbf{k}} '\rangle$），可以得到 代入 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $，可以得到 \[ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rvert \tilde\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =(2\pi)^4\delta(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })\delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \sqrt{Z}~. \] 其中 $\sqrt{Z}= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rvert \phi(0) \left\lvert \Omega \right\rangle $，由洛伦兹变换，当 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle $ 取任意单粒子态时它都是常数。可以调整单粒子态的相因子来使 $\sqrt{Z}$ 为正实数。将上式写成洛伦兹协变的形式： \[ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert \tilde\phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle =(2\pi)^4 \sqrt{Z} (2E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })\delta(p^2-m^2)\theta(p^0) \delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} )~. \] 因此当 $p^\mu$ 满足单粒子态的在壳条件 $p^2=m^2,p^0>0$ 时，$\tilde \phi(p^\mu) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 一定正比于 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle $。具体地，可以由物理态的完备关系得到

　　 现在我们希望构造一系列算符 $C_\alpha$ 来构造入态的产生算符。具体地，我们希望一个 $n$ 粒子的入态 $ \left\lvert \psi^+ \right\rangle $ 可以写成 $C_1C_2\cdots C_n \left\lvert \Omega \right\rangle $，出态 $ \left\lvert \psi^- \right\rangle $ 可以写成 $D_1D_2\cdots D_n \left\lvert \Omega \right\rangle $。以入态为例，算符 $C_\alpha$ 是由 $\tilde \phi(k)$ 调制而成的波包，它作用于真空态产生动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha$ 的单粒子态。 \[ C_\alpha=\int d^4 {x_\alpha} u_\alpha(x_\alpha)\phi(x_\alpha) = \int \frac{d^4 l}{(2\pi)^4} \tilde{u}_\alpha(-l)\tilde\phi(l)~. \] $\tilde{u}_\alpha(-l)$ 为波包的调制函数，在 $l=(+E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha}, \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha)$ 的一个小邻域内非零。注意到 $(\tilde{\phi}(l))^\dagger=\tilde{\phi}(-l)$，因此 $C_\alpha^\dagger$ 的作用则是湮灭单粒子态。考虑用 $u_\alpha(x_\alpha)=F(x_\alpha)g(t_\alpha-T)$ 形式的调制函数来构造入态和出态，$g(t)$ 随 $|t|$ 增大而衰减，我们约定它的宽度远大于 $m^{-1}$，相应的其傅里叶变换 $\tilde g(\omega)$ 是 $\omega=0$ 附近宽度远小于 $m$ 的一个尖峰。$F(x)$ 是具有以下形式的相对论性波函数： \[ F(x)=\int \frac{d^3 { \boldsymbol{\mathbf{l}} }}{(2\pi)^3} f( \boldsymbol{\mathbf{l}} ) e^{-i\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }t+i \boldsymbol{\mathbf{l}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }~. \] 在物理意义上，入态是指在无穷远过去互相分离的波包，那么我们将算符定义在负无穷时刻，即 $g(t-T_-)$ 在 $t\approx T_-\rightarrow -\infty$ 处非零；出态是在无穷远未来互相分离的波包，那么 $g(t-T_+)$ 在 $t\approx T_+\rightarrow +\infty$ 处非零。约定 $T_+,T_-$ 远大于 $g(t)$ 的宽度。现在考虑波包调制函数的傅里叶分量 $\tilde{u}_\alpha(-l)$：

由此可以看到，$g(t)$ 的宽度远大于 $m^{-1}$ 导致了当 $l^0$ 在 $\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }$ 附近上式才不为零，由此构造的算符 $C_\alpha$ 或 $D_\alpha$ 不会贡献多粒子态和真空态。算符 $C_\alpha$ 或 $D_\alpha$ 作用到真空态后，只有当 $l$ 满足在壳条件，即 $l^0=\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{l}} }$ 时，$\tilde{u}_\alpha(-l)\tilde \phi(l) \left\lvert \Omega \right\rangle $ 才会贡献对单粒子态的分量有贡献。最终该算符作用于真空态得到的就是，能壳 $p^2=m^2$ 上 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha$ 附近所对应的单粒子态的光滑叠加。此外，对于不同的产生算符，我们可以假定其动量 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _\alpha$ 互不相同，那么不同的波包在无穷远过去（或未来）空间距离间隔很远，因此不同的 $C_\alpha$（或不同的 $D_\alpha$）彼此对易，产生的单粒子态是互相独立的。由于这样我们就通过构造波包得到了入态和出态。

LSZ 约化公式

　　 S 矩阵被定义为入态和出态的内积，因此可以用 $C_\alpha,D_\alpha$ 表示为

上面插入了编时算符 $T$ 不改变表达式，因为 $D_\alpha$ 出现在无穷远未来而 $C_\alpha$ 出现在无穷远过去。定义两组新的算符 $\bar C_\alpha$ 和 $\bar D_\alpha$： 如果将 式 7 中的某个 $C_\alpha$ 替换为 $\bar{C}_\alpha$，那么在编时算符的作用下它被移到最左侧，于是湮灭 $ \left\langle \Omega \right\rvert $。如果将某个 $D_\alpha^\dagger$ 替换为 $\bar{D}_\alpha^\dagger$，则它被移到最右侧后湮灭 $ \left\lvert 0 \right\rangle $。因此可以将 式 7 改写为 \[ \left\langle \Omega \right\rvert T (D_1^\dagger-\bar{D}_1^\dagger) \cdots (D_n^\dagger-\bar{D}_n^\dagger) (C_1-\bar{C}_1)\cdots (C_n-\bar{C}_n) \left\lvert \Omega \right\rangle ~. \] 算符 $C_\alpha$ 与 $\bar{C}_\alpha$ 的波包调制函数，其 $f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 分量是完全相同的。对于在壳的 $l$，两个波包调制函数的在壳傅里叶分量 $\tilde{u}_\alpha(-l)$ 是相同的。对于自由标量场论来说，满足自由 Klein-Gordon 方程的场算符只有在壳的傅里叶分量，那么 $C_\alpha$ 和 $\bar{C}_\alpha$ 将没有差别。这意味着两个算符 $C_\alpha$ 与 $\bar{C}_\alpha$ 的差别来自于理论的相互作用，可以对它作具体的计算： 其中第四行到第五行的推导利用了 $\tilde{g}(\nu)$ 宽度远小于 $m$ 的性质将分母中的 $\nu^2$ 当作无穷小量略去，当 $T_+\rightarrow +\infty,T_-\rightarrow -\infty$ 时 $(e^{i\nu T_-}-e^{i\nu T_+})/(-\nu)$ 可以改写为 $2\pi i\delta(\nu)$。在最后一步中我们取定了 $\tilde g(0)=\int \,\mathrm{d}{t} g(t)=1$，如果它不为 $1$，我们可以将系数吸收进 $f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 中。用类似的方法可以计算 $D_\alpha^\dagger-\bar{D}_\alpha^\dagger$。 \[ D_\alpha^\dagger-\bar{D}_\alpha^\dagger=i \int \frac{d^3{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{(2 \pi)^3 2 \omega_{\mathbf{p}}} f'^{*}_\alpha(\mathbf{p}) \int d^4 x e^{ipx}\left[\left(m^2+\partial^2\right) \phi(x)\right]~, \] 现在离 LSZ 约化公式的导出只差一步之遥。S-矩阵依赖于归一化的选择，也就依赖于 $f_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 和 $f'\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$，因此我们需要对 $C_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle $ 和 $D_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle $ 进行适当的归一化。利用 式 4 和 式 5 以及 $\tilde g(0)=1$，可以得到： $D_\alpha \left\lvert \Omega \right\rangle $ 也是类似的。为了使这些构造的入态和出态具有和物理态一样的归一化条件，可以约定 那么由 $C_\alpha,D_\alpha$ 构造的入态和出态就是 最终我们得到 LSZ 约化公式：