虚时间法求基态波函数
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这里介绍一种求解基态波函数的数值方法。如果薛定谔方程中势能不含时间，用分离变量法解薛定谔方程的结果是
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_i \psi_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t}~,
\end{equation}
其中 $\psi_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是能量为 $E_i$ 的能量本征态。
现在若要求基态，我们可以用虚数时间，即 $t' = \mathrm{i} t$，使得含时波函数变为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t') = \sum_i \psi_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- E_i t'}~.
\end{equation}
这样，激发态衰减的速度就都比基态要快，当 $t \to +\infty$ 的时候，就只剩下基态波函数了。最后进行归一化即可。
假设我们有一个求解 TDSE 的数值方法，那么我们只需要用其求解方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{H}} \Psi = - \frac{\partial \Psi}{\partial t} ~.
\end{equation}
然后每个循环对波函数进行归一化即可。因为该方程的分离变量解就是
式 2 。