功和机械能（高中）

贡献者： kahoyip; addis

预备知识　牛顿运动定律

1. 功

　　在直线运动中，如果一个力 $F$ 作用在物体上，且物体在这个力的方向上发生了位移 $s$，就说这个力对物体做了机械功（简称功）。功常用字母 $W$ 表示。做功的过程是能量变化的过程，功是能量变化的量度。

　　在国际单位中，功的单位是焦耳，简称焦，符号为 $\mathrm{J}$，$1\mathrm{J}=1\mathrm{N \cdot m}$。

恒力对物体做的功

　　当力的方向与物体位移的方向相同时，功的大小等于力的大小与位移大小的乘积，即：

\begin{equation} W=Fs~. \end{equation}

　　若拓展到一般情况，力和位移都是矢量，功是力和位移的点乘（内积） $W = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} $。因此功是一个标量。由于点乘满足分配律，当物体在多个力的作用下发生了一段位移，它们对物体所做的总功等于各个力对物体所做的功的代数和，也等于合力在该位移下做的功

\begin{equation} W = ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 + \dots) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} + \dots~ \end{equation}

　　当力的方向与物体位移的方向的夹角为 $\theta$ 时，对 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 进行正交分解可得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 沿位移方向的分力 $F_1=F\cos \theta$，垂直于位移方向的分力 $F_2=F\sin \theta$。易知物体在分力 $F_1$ 的方向上发生了位移 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $，在 $F_2$ 的方向上没有位移，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 对物体做功大小为：

\begin{equation} W=Fs\cos \theta~. \end{equation}

当 $\theta = 0$ 时，式 3 可化简为式 1 的形式。
当 $0\leq \theta < \pi/2$ 时，$W>0$，力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 为动力，推动物体的运动，对物体做正功。
当 $\pi/2< \theta \leq \pi$ 时，$W<0$，力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 为阻力，阻碍物体的运动，对物体做负功。
当 $\theta = \pi/2$ 时，$W=0$，力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 对物体不做功。

　　要注意的是，对于功的计算式，位移必须是在力在作用过程中发生的。

变力对物体做的功

　　对于变力做功，需要根据实际情况，选择不同的方法，此处列举几个常用的方法：

分解成多个恒力做功的阶段，分别计算再求代数和。
图像法：已知力—位移图像（力和位移在同一直线上）时，曲线与 $x$ 轴上方围成的面积为正功，与 $x$ 轴下方围成的面积为负功，高中阶段适用于规则几何图形及割补法可计算的情况。
求平均力：如果力的方向不变，其大小随位移均匀变化，可求出物体所受的平均力，进而用式 3 求解，这种情况也可从用图像法计算三角形面积的情况推出。
微元法：如一个物体在一个大小不变的拉力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 下做半径为 $r$ 的匀速圆周运动，力的方向和运动方向始终一致，总功等于在无数段极小的位移上恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 做功的和，所有极小位移的大小之和为 $\Delta s_1+\Delta s_2+\dots+\Delta s_n=2\pi r$，则 $W=F\Delta s_1+F\Delta s_2+\dots+F\Delta s_n=2\pi rF$。
已知恒定功率或平均功率以及做功时间，用式 4 求解。
利用动能定理式 7 列式求解，该方法适用范围较广，常为计算变力做功的首选。

2. 功率

　　功与其对应做功所用时间之比叫做功率。功率是表示做功快慢的物理量，常用字母 $P$ 表示，其定义式为：

\begin{equation} P=\frac{W}{t}~. \end{equation}

　　在国际单位中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为 $\mathrm{W}$。

　　 额定功率：机械设备长时间正常工作时所能达到的最大输出功率，对某个设备来说其额定功率是一定的。

　　 实际功率：机械设备工作时实际的输出功率。

　　联立式 3 、式 4 和 $v=s/t$，可得功率与速度的关系：

\begin{equation} P=Fv\cos \theta~. \end{equation}

　　研究功率的问题时，通常用式 4 计算平均功率，用式 5 计算瞬时功率。

3. 动能

　　物体由于运动而具有的能量叫做动能，用符号 $E_k$ 表示¹。

　　质量为 $m$ 的物体，在速度大小为 $v$ 时所具有的动能为：

\begin{equation} E_k=\frac12mv^2~. \end{equation}

　　注意：运动具有相对性，因此物体的动能与参考系有关。

　　因为 $\mathrm{1kg\cdot (m/s)^2=1(kg\cdot m/s^2)\cdot m=1N\cdot m=1J}$，由式 6 可知动能的单位与功的单位相同。

4. 动能定理

　　物体的运动过程中，合外力对物体所做的功 $W$ 等于物体在这个过程中动能的变化量 $\Delta E_k$。设物体的初动能为 $E_{k1}$，末动能为 $E_{k2}$ 则：

\begin{equation} W=\Delta E_k =E_{k2}-E_{k1}~. \end{equation}

　　推导：设质量为 $m$ 的物体，在水平方向受到恒定的合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $，以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 的速度开始做匀变速直线运动，加速到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$。根据匀变速直线运动规律（式 5 ）、牛顿第二定律（式 1 ）和功的计算（式 1 ）可得：

\begin{equation} W=Fs=ma\frac{v_2^2-v_1^2}{2a}=\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2~. \end{equation}

　　动能定律具有普遍性，除了上述推导中恒力做功、直线运动的情况，同样适用于变力做功、曲线运动的情况，当确定了物体运动过程的初末状态后，使用动能定理分析问题会较为方便。

5. 势能

　　势能也叫位能，是与相互作用的物体的相对位置有关的能量，用符号 $E_p$ 表示²。

重力势能

　　物体受到重力并处于一定高度时具有的能量叫做重力势能。

　　质量为 $m$ 的物体，在高度为 $h$ 处所具有的重力势能为：

\begin{equation} E_p=mgh~. \end{equation}

　　物体的重力势能与参考平面（重力势能为零的平面）的选取有关，通常选地面或运动最低处为参考平面。

　　质量为 $m$ 的物体在重力作用下，从高度为 $h_1$ 的位置运动至高度为 $h_2$ 的位置，位移大小为 $s$，位移与重力的夹角为 $\theta$，在此过程中，重力做功为：

\begin{equation} W_G=mgs\cos \theta=mg(h_1-h_2)=mgh_1-mgh_2~. \end{equation}

　　根据式 9 物体在 $h_1$ 和 $h_2$ 处的重力势能分别为 $E_{p1}=mgh_1$ 和 $E_{p2}=mgh_2$，从 $h_1$ 到 $h_2$ 处，重力势能变化为 $\Delta E_p= E_{p2}-E_{p1}$，由此可得重力做功与重力势能的关系为：

\begin{equation} W_G=E_{p1}-E_{p2}=-\Delta E_p~. \end{equation}

由上式可知，重力做正功时，物体的重力势能减小；重力做负功时，物体的重力势能增大。

弹性势能

　　发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。

　　弹性势能的大小也具有相对性，以弹簧为例，一般选取原长处为零势能点进行分析，对同一弹簧来说，从原长处伸长或压缩相同长度时其弹性势能大小相等。

　　弹性势能的变化与弹力做功有关，弹力做正功时，弹性势能减小；弹力做负功时，弹性势能增大。

6. 机械能守恒定律

　　动能和势能统称为机械能。

　　在只有重力或弹力做功的系统内，系统的动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。表达式为：

\begin{equation} E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}~. \end{equation}

1. ^ $E_k$ 中的 $k$ 表示 kinetic。
2. ^ $E_p$ 中的 $p$ 表示 potential。