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对于一个系统，力学量算符 $\hat{A}$ 与哈密顿算符 $\hat{H}$(不易含时间 $t$)不对易，已知 $\hat{A}$ 的两个本征值为 $a_1$ 和 $a_2$,相应的本征函数分别为： $$\psi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\varphi_1 + \varphi_2), \quad \psi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\varphi_1 - \varphi_2)~$$ 其中 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 为本征函数, 相应的本征值分别为 $E_1$ 和 $E_2$. 若 $t = 0$ 时, 系统处于 $\psi_1$ 态, 求 $t$ 时刻力学量 $\hat{A}$ 的平均值.
设 $E_m$ 为系统哈密顿量的本征值, 相应的本征矢为 $ \left\lvert m \right\rangle $, $\hat{F}(\vec{r}, \hat{\vec{p}})$ 为一厄米算符. 证明: \[ \sum^\infty_{n=0}(E_n - E_0) |F_n|^2 =\frac{1}{2}\langle j |[\hat{F}, [\hat{H}, \hat{F}]] |j \rangle ~ \]
设 \[ \varphi_1(x) = ae^{-\frac{1}{2}x^2} \quad \text{和} \quad \varphi_2(x) = b(x^2 + Ax + B)e^{-\frac{1}{2}x^2}~ \] 是某粒子一推束缚态的两个定态本征函数，其中 $a, b, \alpha$ 为已知实常数 $-\infty < x < +\infty$。求这两个束缚态的能级差，并确定实常数 $A$ 和 $B$。
线性谐振子的哈密顿量为 $\hat{H} = (\hat{N} + \frac{1}{2})\hbar\omega$，其中 $\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$，而 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$，满足 $[\hat{a}, \hat{a}] = [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger] = 0$。
(1) 设 $m$ 为正整数，证明： $$[\hat{N}, (\hat{a}^\dagger)^m] = -m(\hat{a}^\dagger)^m~$$ $$[\hat{N}, (\hat{a})^m] = m(\hat{a})^m~$$
(2) 若 $ \left\lvert n \right\rangle $ 是 $\hat{H}$ 的归一化本征矢，$\hat{a} \left\lvert 0 \right\rangle = 0$，$ \left\lvert n \right\rangle = N_n ( \hat{a}^\dagger )^n \left\lvert n \right\rangle $，求因子 $N_n$。
(3) 若外加一微扰，$\hat{H'} = g\hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}$，$g$ 为系数，求能量的一阶近似值。
质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 \[V(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq a \\\\\infty & x < 0, x > a \end{cases}~\] 中运动，求其能量本征值和波函数。如果粒子原来处于基态，设想突然使 $a \to \infty$，则此后时间粒子动量的大小在 $p$ 到 $p + d p$ 之间的概率是多少？
一个自旋为 $\frac{1}{2}$、磁矩为 $\mu$ 的粒子处于磁场 $\vec{B}$ 中, \[ \vec{B} = B_0 \cos\left(\omega t\right) \vec{e}_x - B_1 \sin\left(\omega t\right) \vec{e}_y + B_2 \vec{e}_z~ \]
设 $t = 0$ 时，粒子处于 $m = \frac{1}{2}$ 的状态，求 $t > 0$ 时，发现粒子处于 $m= -\frac{1}{2}$ 状态的概率。