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\( t = 0 \),时，其归一化的波函数为:
\[
\psi(x,0) = \sqrt{\frac{8}{5a}} (1 + \cos\frac{\pi x}{a}) \sin\frac{\pi x}{a}~
\]
求:(1)$t>0$ 时，粒子的状态波甬数 $\psi(x,t)$:
(2)$t=0$ 及 $t=t_0$,时系统的平均能量:
(3)$t=0$ 及 $t=t_0$ 时,在 $0\leq x\leq \frac{a}{0}$ 的区域内发现粒子的概率
已知 $l=1$ 时，$L_z$ 的本征函数在坐标表象中用球函数客示为
\[Y_{1,-1} = \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin \theta e^{-i\phi}~ \] \[ Y_{1,0} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta~ \] \[ Y_{1,1} = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin \theta e^{i\phi}~ \] 写出 $l=1$ 时，$\hat{L_x}$, 和 $\hat{L}_y $
某力学量的算符 $\hat{A}$ 有两个归一化的本征函数 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$，相应的本征值分别为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$；另一个力学量的算符 $\hat{B}$ 也有两个归一化的本征函数 $\chi_1$ 和 $\chi_2$，相应的本征值分别为 $\beta_1$ 和 $\beta_2$。已知： $$\varphi_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} (4 \chi_1 + 3 \chi_2), \quad \varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} (3 \chi_1 - 4 \chi_2)~$$
在某状态下，测量力学量 $A$ 后得到的结果为 $\alpha_1$；若在此之后再测量力学量 $\hat{}$，接着再一次测量力学量 $\hat{A}$，则第二次测量 $\hat{A}$ 得到结果为 $\alpha_1$ 的概率为多少？
某体系的哈密顿算符为 $\hat{H} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，对应的能量分别为 $1, 3, 2$。
(1) 若 $a \ll 1$，用微扰论论求 $\hat{H}$ 本征值的近似结果（二级微扰理论）。
(2) 求 $\hat{H}$ 的精确本征值。
(3) 在什么条件下，(1) 与 (2) 的结果一致。
有一电子处于确定的自旋态 $|\psi \rangle$，已知在此自旋态中 $S_z$ 取 $\frac{\hbar}{2}$ 的概率是 $\frac{1}{3}$，$x_y$ 取 $\frac{\hbar}{2}$ 的概率是 $\frac{1}{6}$,而且 $x_x$ 的平均值小于零，求 $\hat{S}_x$ 取 $\frac{\hbar}{2}$ 的概率是多少？