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相互作用 Hamiltonian，我们考虑一个坐标表象张量积一个 open-closed 的 channel 表象。这种情况下，可以写为：
\begin{equation}
\hat{H} = -\frac{\hbar^2\nabla^2}{m}\otimes I_2+V_{2\times2}~.
\end{equation}
其中因为约化所以 $2m\to m$。此外，
\begin{equation}
V_{2\times2} = \begin{cases}
\left(\begin{matrix}
-V_{\text{open}} & W\\
W & -V_{\text{close}}
\end{matrix}\right) & (r < r_0)\\
\left(\begin{matrix}
0 & 0\\
0 & +\infty
\end{matrix}\right) & (r > r_0)
\end{cases}~
\end{equation}
这其实就是对我们之前的物理要求：在远处 close 通道有一个远高于能标的渐进值，近处有一个相互作用（$W$）但是很小。它是由超精细结构提供的，比 $|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$ 小几个量级。
在很前面的时候，我们知道，$E\to0$ 的情况下，波函数可以写为 $\Psi=\frac{r-a_s}{r}|\text{open}\rangle$。
在近处，我们考虑相互作用部分的本征态 $|\pm\rangle$：
\begin{equation}
|+\rangle = \left(\begin{matrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{matrix}\right),\quad |-\rangle = \left(\begin{matrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{matrix}\right)~.
\end{equation}
其中，$\tan2\theta = 2W/|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$，本征值可以近似认为是 $V_{\text{open}}$ 和 $V_{\text{close}}$。可以用未归一的波函数来描述这两个本征态各自独立的情况：
\begin{equation}
|\Psi\rangle\propto\frac{1}{r}\left[ \sin\left(q_+r\right) |+\rangle + A \sin\left(q_-r\right) |-\rangle\right]~.
\end{equation}
其中，$q_+,q_-$ 为该能量下的波矢，$A$ 是一个系数。由于整体 $E\to0$ 为零能散射，所以 $\hbar^2q^2/m$ 就应该等于负的相互作用本征值，也就是有
\begin{equation}
\frac{\hbar^2q_{+/-}^2}{m} = V_{\text{open}}/V_{\text{close}}~.
\end{equation}
考虑在 $r\geqslant r_0$ 的位置，体系波函数就不再会包含 close 成分，也就是说，$\langle\text{close}|\Psi\rangle(r_0) = 0$，从而告诉我们这个系数 $A$ 满足
\begin{equation}
A=-\tan\theta\frac{ \sin\left(q_+r_0\right) }{ \sin\left(q_-r_0\right) }~.
\end{equation}
此外，open 态在 $r_0$ 处要连续，不仅是波函数还有其导数。利用之前得到的关系，可以有
\begin{equation}
\left.\frac{L'}{L}\right|_{r=r_0} = \left.\frac{(r-a_s)'}{r-a_s}\right|_{r=r_0}~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
L = \sin\left(q_+r\right) \cos\theta - \frac{ \sin\left(q_+r_0\right) }{ \sin\left(q_-r_0\right) } \sin\left(q_-r\right) \tan\theta~,
\end{equation}
经过化简我们得到
\begin{equation}
\frac{q_+\cos^2\theta}{ \tan\left(q_+r_0\right) }+\frac{q_-\sin^2\theta}{ \tan\left(q_-r_0\right) } = \frac{1}{r_0-a_s}~.
\end{equation}
可以看到，因为 $\theta\to0$，主要成分有 $q_+$ 贡献。在没有相互作用的时候，我们有
\begin{equation}
\frac{1}{r_0-a_{\text{bg}}} = \frac{q_+}{ \tan\left(q_+r_0\right) }~.
\end{equation}
只有在 $ \tan\left(q_-r_0\right) \to0$ 的时候，第二项才有贡献。
考虑一个体系的束缚态，能量 $E_c$，其满足
\begin{equation}
\left. \sin\left(qr\right) \right|_{r=0,r_0} = 0,\quad q = \sqrt{\frac{m(V_c+E_c)}{\hbar^2}}~.
\end{equation}
在 $E_c\to0$ 的时候，$q_-\sim q$，从而
\begin{equation}
\tan\left(q_-r_0\right) \sim (q_- -q) r_0 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{m}(\sqrt{V_c}-\sqrt{V_c+E_c}) =-\frac{mE_c}{2\hbar^2 q_-}~.
\end{equation}
也就是说，第二项约为
\begin{equation}
-\frac{2\hbar^2q_-^2\theta^2}{mr_0}\frac{1}{E_c} = -\gamma\frac{1}{E_c}, \gamma\equiv\frac{2\hbar^2q_-^2\theta^2}{mr_0} ~.
\end{equation}
此时，
\begin{equation}
\frac{a_s-r_0}{a_{\text{bg}}-r_0} = 1-\frac{\Delta B}{B-B_{\text{res}}}~.
\end{equation}
其中，$B$ 为施加的磁场，而我们的 $E_c$ 则由磁场调控（因为磁矩不一样）：$E_c\to E_c+\delta\mu B$，而 $\Delta B = \frac{\hbar^2}{\delta\mu m}\gamma(a_{\text{bg}}-r_0)$，$B_{\text{res}} = -{E_c}/{\delta\mu}+\Delta B$，都是一些以 $B$ 参数的东西。