不动点迭代（Matlab 绘图）

贡献者： ACertainUser

预备知识　Matlab 画图

　　不动点迭代法也是一种求解方程（或函数零点）$f(x)=0$ 的经典方法。

图 1：不动点迭代求解 $x=\varphi(x)=0.2x^2$ 的 Cobweb 图

图 2：对 $x=\cos x$ 的不动点迭代更形象地展现了"Cobweb"（“蛛网”）恐蜘蛛者慎入

　　为了使用不动点迭代，先得改写方程的形式：

\begin{equation} f(x)=0\Rightarrow x = \varphi(x)~, \end{equation}

使 $x = \varphi(x)$ 等式成立的 $x$ 就是 $\varphi(x)$ 的不动点，亦即 $f(x)=0$ 的解。

　　不动点迭代的迭代公式是

\begin{equation} x_{k+1} = \varphi(x_k) \qquad k=0,1,2,...~, \end{equation}

其中 $x_0$ 是人为选定的、对解的初始猜测。如果满足收敛条件¹，那么迭代结果将收敛于不动点 $x$： $$\lim_{k\to+\infty} x_k = x~.$$

　　以下的 Matlab 代码粗糙地实现了不动点迭代，同时做出了过程的 Cobweb 示意图：

clc
clear

f = @(x) 0.2*x.^2;
x(1) = 4;

hold on
axis equal

for i=1:100
  if i~=1
    x(i) = f(x(i-1));
  end

  line([x(i) x(i)],[0 f(x(i))],'Color','r');
  scatter(x(i),0);
  text(x(i),-0.1,[int2str(i)],'fontsize',12);

  if i~=1
    line([x(i - 1) x(i)],[f(x(i-1)) f(x(i-1))],'Color','b');
    line([x(i) x(i)],[f(x(i - 1)) f(x(i))],'Color','b');
  end

  if i~=1 && abs(x(i) - x(i-1)) < 0.01
    break;
  end
end

if x(i) < x(1)
  _x = x(i)-0.5:0.01:x(1)+0.5;
else
  _x = x(1)-0.5:0.01:x(i)+0.5;
end

_y = f(_x);
plot(_x, _y,'k');
plot(_x, _x,'k');

1. ^ 参考你的数值计算课本