极端曲线
贡献者： 零穹; addis
从欧拉方程 一节中，可以知道极值曲线是使二维空间中泛函
\begin{equation}
J(y)=\int_a^b F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
取极值的曲线，它满足欧拉方程。当推广到高维空间时，我们称使 $n$ 维空间中泛函
\begin{equation}
J(y_1,\cdots, y_n)=\int_{a_0}^{a_1}F(x;y_1,\cdots,y_n;y_1',\cdots,y_n') ~.
\end{equation}
取极值的曲线
\begin{equation}
y_1=y_1(x);\cdots;y_n=y_n(x)~
\end{equation}
中的每一个为
极端曲线。式中，$a_0,a_1$ 分别是 $n$ 维空间中可取曲线的起止点的参数值。
在高维空间中，泛函
式 2 取极值的必要条件满足如下定理
定理 1
如果曲线
\begin{equation}
y_1=y_1(x),y\cdots,y_n=y_n(x)~
\end{equation}
属于可取曲线 $C_1$ 类，并且给出积分
\begin{equation}
J(y_1,\cdots, y_n)=\int_{a_0}^{a_1}F(x;y_1,\cdots,y_n;y_1',\cdots,y_n') ~
\end{equation}
的极值。其中，$F$ 和它对所有变数的二阶以内的偏微商都是连续的。那么函数 $y_1=y_1(x),y\cdots,y_n=y_n(x)$ 满足微分方程组
\begin{equation}
F_{y_1}- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y_1'}=0\cdots, F_{y_n}- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y_n'}=0~.
\end{equation}
并且若 $\Delta= \left\lvert \frac{\partial^2 F}{\partial y_i'\partial y_k'} \right\rvert $ 沿着某极端曲线 $y_k=y_k(x)$ 不为 0，那么这条极端曲线是属于 $C_2$ 类的。