指数衰减
贡献者： addis; int256
指数衰减是十分常见的一种现象，例如在以下问题中：
一种原子核发生 $\alpha$ 或 $\beta$ 等衰变后成为另一种原子核。
这种转变对同一种核素的许多原子核并非同时发生，有的先衰变，有的后衰变。放射性物质中的原有核素的数量随时间推移逐渐减少，而整体的衰变速率与该时刻的衰变前的核素数量成正比。
所以任何放射性物质在单独存在时都遵从指数衰减规律式。
即：1衰变的速率和总量成正比，或者说每个粒子单位时间衰变的概率一样。
指数衰减的常见原因正是由于其微分方程形式的常见性：
$$y' = \alpha y ~.$$
下面进行推导：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{t}} = -\lambda N~.
\end{equation}
方程的解
\begin{equation}
N(t) = N_0 \mathrm{e} ^{-\lambda t}~.
\end{equation}
将半衰期 $T_h$ 定义为，原有这种粒子的一半发生衰变所需要的时间。满足
\begin{equation}
N(T_h) = \frac{N_0}{2} \iff \mathrm{e} ^{-\lambda T_h} = \frac{1}{2}~,
\end{equation}
解得
\begin{equation}
T_h = \frac{\ln 2}{\lambda}~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。