圆锥曲线的配极（高中）

                     

贡献者： JierPeter; 欄、停敘

定义 1　关于圆的极点与极线（极点在圆外）

　　

　　 给定一个圆 $C$，取 $C$ 外一点 $P$，如图 1 所示。

　　 过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $A$ 和 $B$，则称直线 $AB$ 是点 $P$关于圆$C$ 的极线。

　　 反之，取圆 $C$ 的一根弦，与圆的交点为 $A$ 和 $B$，过这两个点作圆 $C$ 的切线，称其交点 $P$ 为直线 $AB$关于圆$C$ 的极点。

图
图 1：关于圆的极点与极线的示意图。点 $P$ 和直线互为关于给定圆的极点和极线。

　　 极点和极线总是成对出现，因此一定要强调 “关于圆的”。比如说，单独给定一个圆和一个点，不能说这个点就是圆的极点，因为没有 “圆的极点” 这种说法。

　　 定义 1 中只局限于关于圆的情况，且 $P$ 点在圆之外。事实上，极点和极线的相对关系可以关于所有圆锥曲线定义，点 $P$ 也可以在平面上任何位置。我们接下来就通过讨论逐步明晰这些概念。

定理 1　极线的方程

　　

　　 给定圆 $C:x^2+y^2=R^2$ 和其外一点 $P=(x_0, y_0)$，则 $P$ 关于圆 $C$ 的极线为

\begin{equation} l: x_0x+y_0y = R^2~. \end{equation}

　　 证明：

　　 如图 1 ，极线 $l=AB$ 与直线 $PO$ 正交，而 $PO$ 的斜率为 $y_0/x_0$，故 $AB$ 的斜率为 $-x_0/y_0$，因此易得其方程为

\begin{equation} AB: x_0x+y_0y=c~, \end{equation}
其中 $c$ 待定，不妨设 $c>0$。

　　 如何确定 $c$ 呢？我们绕 $O$ 点旋转整个坐标系，则在此过程中 $AB$ 到 $O$ 的距离保持不变。如图 2 ，这个距离 $ \left\lvert OH \right\rvert $ 满足

\begin{equation} \left\lvert OH \right\rvert \sqrt{ \left(\frac{c}{x_0} \right) ^2+ \left(\frac{c}{y_0} \right) ^2} = \frac{c}{x_0}\frac{c}{y_0}~, \end{equation}
整理后得
\begin{equation} \left\lvert OH \right\rvert =\frac{c}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}~. \end{equation}

图
图 2：计算已知直线到原点距离的示意图。如图，绿色直线的方程为 $x_0x+y_0y=c$，过 $O$ 作其垂线，垂足为 $H$。

　　 对于本定理考虑的极点和极线的情况，旋转过程中 $x_0$ 和 $y_0$ 一直变化，但是 $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ 不变，恒为 $ \left\lvert OP \right\rvert $，因此 $c$ 也保持不变。将 $B$ 旋转到 $(R, 0)$ 的位置，将这个坐标代入直线 $AB$ 的表达式后易得

\begin{equation} c=R^2~. \end{equation}
这就确定了 $c$。

　　 综上得证。

　　 证毕。

　　 由定理 1 可见，给定了圆（相当于给定 $R$），再给定点 $P$（相当于给定 $x_0$ 和 $y_0$），则能唯一确定极线 $x_0x+y_0y=R^2$。反之，给定了圆和一条直线，则能唯一确定相对应的极点。更重要的是，这个互相确定的过程不需要限定 $P$ 在圆外，因此可以由此直接推广极点和极线的概念。

定义 2　关于圆的极点与极线

　　

　　 给定一个圆 $C: x^2+y^2=R^2$，取一点 $P=(x_0, y_0)$，则称直线 $l:x_0x+y_0y=R^2$ 是点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线；反之，点 $P$ 是直线 $l$ 关于圆 $C$ 的极点1。

　　 更一般地，对于任意圆锥曲线 $E$，都可以成对定义关于 $E$ 的极点和极线。

定义 3　关于圆锥曲线的极点和极线

　　 给定椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则点 $(x_0, y_0)$ 关于 $E$ 的极线为 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$。

　　 给定双曲线 $H:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则点 $(x_0, y_0)$ 关于 $H$ 的极线为 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$。

　　 给定抛物线 $P:y^2=2px$，则点 $(x_0, y_0)$ 关于 $P$ 的极线为 $y_0y=p(x+x_0)$。

1. ^ 用齐次坐标来表达，就是：点 $(zx_0, zy_0, z)$ 关于圆 $x^2+y^2=R^2z^2$ 的极线为 $x_0x+y_0y=R^2z$。

                     

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